Momentumgeneráló függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.

Definíció[szerkesztés]

Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:[1]

,

ahol a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető:

.

Ahol és az momentumai.

A momentumgeneráló függvény csak eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.

Folytonos valószínűségeloszlások[szerkesztés]

Ha eloszlása folytonos az folytonos sűrűségfüggvénnyel, akkor a várható érték helyettesítésével teljesül, hogy

ahol az -adik momentuma. Az éppen az által meghatározott mérték kétoldali Laplace-transzformációja.

Megjegyzések[szerkesztés]

Elnevezés[szerkesztés]

A momentumgenerátor név abból ered, hogy a függvény deriváltjai a nulla helyen éppen a valószínűségeloszlás momentumait veszik fel, mégpedig a -adik derivált a -adik momentumot:

,

ahogy az a fenti hatványsorból is kiolvasható. Az összes létező és nem eltűnő momentummal az eloszlás egyértelmű, feltéve, ha a momentumgeneráló függvény értelmezhető egy nyílt szakaszon, ahol .

Kapcsolat a karakterisztikus függvénnyel[szerkesztés]

A momentumgeneráló függvény kapcsolódik az eloszlás karakterisztikus függvényéhez. Momentumgeneráló függvény létezése esetén . Szemben a momentumgeneráló függvénnyel, karakterisztikus függvénye minden valószínűségi változónak van.

Kapcsolat a valószínűséggeneráló függvénnyel[szerkesztés]

Valószínűséggeneráló függvénye csak olyan eloszlásoknak van, amelyek értékei -beliek. Ekkor ez a függvény . Ekkor diszkrét változókra .

Kapcsolat a kumulánsgeneráló függvénnyel[szerkesztés]

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle vezetik le a kumulánsokat.

Független valószínűségi változók összege[szerkesztés]

Független valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye a valószínűségi változók momentumgeneráló függvényeinek szorzata. Azaz, ha független valószínűségi változók, akkor momentumgeneráló függvénye:

,

ahol az utolsó előtti egyenlőség azt használja fel, hogy független valószínűségi változók összegének várható értéke a valószínűségi változók várható értékeinek szorzata.

Egyértelműség[szerkesztés]

Ha egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye véges a nulla egy környezetében, akkor egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását.[2]

Legyenek és valószínűségi változók, az és momentumgeneráló függvényekkel. Ha van egy , hogy minden esetén, akkor akkor és csak akkor, ha minden helyen.

Példák[szerkesztés]

Több eloszlásnak ismert a momentumgeneráló függvénye:

Eloszlás Momentumgeneráló függvény, MX(t)
Bernoulli-eloszlás
Béta-eloszlás [3]
Binomiális eloszlás
Cauchy-eloszlás Nincs momentumgeráló függvény.[4]
Khi-négyzet-eloszlás [5]
Erlang-eloszlás ha
Exponenciális eloszlás ha
Gamma-eloszlás
Geometriai eloszlás a paraméterrel
Egyenletes eloszlás a intervallumon
Laplace-eloszlás a paraméterekkel[6]
Negatív binomiális eloszlás ha
Normális eloszlás
Poisson-eloszlás a paraméterrel

Többdimenziós valószínűségi változó[szerkesztés]

A momentumgeneráló függvény általánosítható dimenziós valós valószínűségi vektorváltozóra. Legyen , ekkor

,

ahol a skaláris szorzás.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Robert G. Gallager: Stochastic Processes. Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Kapitel 1.5.5: Moment generating functions and other transforms
  2. J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 13, Nr. 4, 1942, ISSN 0003-4851, S. 430–433, abgerufen 30. Dezember 2012, (PDF; 402 KB).
  3. Otto J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21115-2, S. 44.
  4. Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Kapitel 8, Beispiel 8.2.
  5. A. C. Davison: Statistical Models. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-1-4672-0331-9, Kapitel 3.2.
  6. Hisashi Tanizaki: Computational Methods in Statistics and Econometrics. Verlag Taylor and Francis, 2004, ISBN 0-203-02202-5, Abschnitt 2.2.11.

Források[szerkesztés]

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 378 ff.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Momenterzeugende Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.