Kumulánsgeneráló függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A kumulánsok a valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változókhoz rendelt mennyiségek. Független valószínűségi változók esetén egyszerű velük számolni. Sorozatuk a várható értékkel és a szórásnégyzettel kezdődik.

Definíció[szerkesztés]

Ha az valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye , azaz

akkor a

függvény az kumulánsgeneráló függvénye.

Az -edik kumulánst jelöli, és definíciója

.

A karakterisztikus függvény segítségével is definiálhatók:

ahol a karakterisztikus függvény.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Eltolásinvariancia[szerkesztés]

A kumulánsokat a sűrűségfüggvény szemiinvariánsainak is tekintik, azaz kivételével nem változnak a várható érték eltolásával együtt. Kegyen valószínűségi változó, ekkor tetszőleges konstansra:

Homogenitás[szerkesztés]

Az -edik kumuláns -edfokban homogén, azaz ha tetszőleges konstans, akkor:

Additivitás[szerkesztés]

Legyenek és független valószínűségi változók, ekkor az valószínűségi változóra:

Független valószínűségi változók esetén a karakterisztikus függvények szorzódnak,

ebből a logaritmus összeget csinál:

Ha a független valószínűségi változók száma , és a valószínűségi változók , akkor

Normális eloszlás[szerkesztés]

Tekintsünk egy normális eloszlást, aminek várható értéke , szórásnégyzete ! Ekkor karakterisztikus függvénye , így kumulánsai:

für .

Minden 2-nél nagyobb rendű kumuláns nulla. Ez azonosítja a normális eloszlást.

Megmutatható, hogy:

  • vagy az első két kumulánst követő összes többi nulla
  • vagy pedig végtelen sok nem nulla kumuláns van.

Másként, az kumulánsgeneráló függvény nem lehet 2-nél magasabb fokú polinom.

Kumulánsok és momentumok[szerkesztés]

Kumulánsok mint a momentumok függvényei[szerkesztés]

Jelölje egy valószínűségi változó -edik momentumát ! -val kifejezhető , mint

Az első néhány kumuláns a momentumok segítségével:

Általában, az összefüggés a következő rekurzióval fejezhető ki:

Egy alternatív kifejezési mód Faà di Bruno képlete, ami a momentumok mellett a Bell-polinomokat is felhasználja:

.

A centrális momentumokkal a képletek egyszerűbbek:

Az első két kumuláns külön jelentéssel bír: a várható érték, a szórásnégyzet. A negyediktől kezdve a kumulánsok és a momentumok nem esnek többé egybe.

A kumulánsok levezetése[szerkesztés]

Az függvényt körül hatványsorba fejtjük:

Ebbe helyettesítjük hatványsorát:

A helyettesítést elvégezve:

A hatványai szerint rendezve kapjuk a kumulánsokat:

Momentumok kifejezése kumulánsokkal[szerkesztés]

Az -edik momentum az első kumuláns -edfokú polinomja. Az első hat momentum:

Az együtthatókat Faà di Bruno képlete adja meg. Általában, az -edik momentum a teljes Bell-polinom értéke az helyen:

.

A centrális momentumok kifejezéséhez a kumuláns nullának tekintendő:

Kumulánsok és partíciók[szerkesztés]

A momentumokat a kumulánsok segítségével kifejező polinomok kombinatoikailag is értelmezhetők: együtthatóik halmazpartíciókat számlálnak. A polinomok általános képlete

ahol:

  • befutja egy elemű halmaz partícióit;
  • "" azt jelenti, hogy a partíció egy blokkja
  • a blokk mérete

Több dimenzióban[szerkesztés]

Az X1, ..., Xn valószínűségi változók közös kumulánsai szintén kumulánsgeneráló függvénnyel generálhatók:

Az egy dimenziós esethez hasonlóan ennek is van kombinatorikai jelentése:

ahol:

  • befutja egy elemű halmaz partícióit;
  • "" azt jelenti, hogy a partíció egy blokkja
  • a blokk mérete

Például

Ez a kombinatorikai összefüggés a kumulánsok és momentumok között egyszerűbb alakot nyer, hogyha a momentumokat kumulánsokkal fejezzük ki:

Ekkor például:

Az első kumuláns a várható érték, két valószínűségi változó közös második kumulánsa a kovarianciájuk. Független valószínűségi változók vegyes kumulánsai eltűnnek. Ha a valószínűségi változók ugyanazok, akkor a kumuláns ugyanaz, mint közönséges kumulánsa.

További fontos tulajdonság a multilinearitás a valószínűségi változókban:

Szabad kumulánsok[szerkesztés]

A fenti kombinatorikus

momentum-kumuláns képlet végigfut az halmaz partícióin. Ha ehelyett csak a nem keresztező partíciókat számoljuk, akkor a szabad kumulánsokhoz jutunk. Roland Speicher vezette be őket.[1]

Alkalmazások[szerkesztés]

A továbbiakban adva legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók!

Centrális határeloszlás-tétel[szerkesztés]

Az valószínűségi változóra a homogenitás és additivitás felhasználásával a következő kumulánsok adódnak:

Mivel a rend az egyenkénti rendek összege, adódik az nagyságrend. Az első kumulánsok nagyságrendjei:

esetén az rendje negatív kitevőt kap, így a határérték végtelen sok valószínűségi változóra:

Azaz csak az első két kumuláns marad, ami éppen a normális eloszlásra jellemző. Emiatt tetszőleges valószínűségi változók összege osztva a tagok számának négyzetgyökével normális eloszláshoz tart. Ez a centrális határeloszlás-tétel. A bizonyítás befejezéséhez még fel kell használni a karakterisztikus függvény néhány tulajdonságát is.

A centrális határeloszlás tétele miatt a normális eloszlás szerepe különleges, mivel ha valamire sok, független, egyenként kevés hatással bíró hatás működik, akkor a hatások összessége normális eloszlással közelíthető.

Speciális esetben , várható értéke nulla, szórásnégyzete , magasabb momentumai tetszőlegesek. Ekkor

A

valószínűségi változóra alkalmazható a magasabb momentumok eltolásinvarianciája, ami csak a várható értékre hat. A különbség az, hogy várható értéke nulla, még akkor is, ha az várható értéke nem tűnik el.

Nagy számok tétele[szerkesztés]

Az

valószínűségi változóra a homogenitás és additivitás felhasználásával a követklező kumulánsok adódnak:

A kumulánsok nagyságrendjei rendre lesznek. Az első kumulánsok nagyságrendjei:

esetén az rend nagy negatív kitevőt kap, így határértékben:

Csak az első kumuláns, illetve momentum marad. Növekvő -nel normális eloszlást közelít, aminek várható értéke:

ahol a szélesség rendű, és esetén elfajult eloszlást jelent -nél.

Legyen például valószínűségi változó várható értékkel, szórásnégyzettel és tetszőleges további momentumokkal.

Ezzel az valószínűségi változó várható értéke ugyanaz, mint az valószínűségi változóé, azaz az várható értékben hű becslése. A növekvő -re csökkenő szórás értéke .

Története[szerkesztés]

A kumulánsokat először Thorvald Nicolai Thiele dán matematikus írta le egy 1889-ben dánul megjelent könyvben.[2] Habár a könyvet a Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik is hivatkozta,[3] az eredményekre nem figyeltek fel. Így Felix Hausdorff 1901-ben újra bevezette őket.[4]

A szabad valószínűségszámításban hasonló szerepet töltenek be, mint a közönséges kumulánsok a közönséges valószínűségszámításban.[5] Például a szabad valószínűségi változók összegének szabad kumulánsai is összegződnek. A normális eloszlás szerepét a Wigner-féle félköreloszlás veszi át, ennek csak a második szabad kumulánsa különbözik nullától.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Speicher, Roland (1994), "Multiplicative functions on the lattice of non-crossing partitions and free convolution", Mathematische Annalen, 298 (4): 611–628
  2. Thorvald Nicolai Thiele: Forelæsninger over almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode, Kopenhagen 1889.
  3. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik JFM 21.0210.01 Archiválva 2015. szeptember 24-i dátummal a Wayback Machine-ben.
  4. Felix Hausdorff: Gesammelte Werke, Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5, S. 544, 577.
  5. (2011) „What Is a Free Cumulant?”. Notices of the American Mathematical Society 58 (2), 300–301. o. ISSN 0002-9920.  

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kumulante című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.