Peremeloszlás

A valószínűségszámításban és statisztikában a peremeloszlások több valószínűségi változó közös eloszlásának, illetve valószínűségi vektorváltozók eloszlásának jellemzői. Jellemzőjük, hogy csak néhány valószínűségi változót, illetve koordinátáját veszi tekintetbe. Például, ha $X$ és $Y$ közös eloszlásáról van szó, $X$ és $Y$ eloszlása ennek peremeloszlásai.

Megkülönböztetik diszkrét és folytonos valószínűségi változók peremeloszlásait:

• Diszkrét peremeloszlások
• Folytonos peremeloszlások

Peremeloszlásokat lehet abszolút illetve relatív gyakoriságokra is képezni. A peremeloszlás gyakoriságai a peremgyakoriságok. Kategorikus változók esetén a kontingenciatábla pereméről olvashatók le.

Példa

A diszkrét jellemzők peremeloszlása kontingenciatáblával mutatható be. A tábla szélén sorok, oszlopok összegeként olvashatók le a peremeloszlások.

Példaként bemutatunk egy abszolút gyakoriságokat tartalmazó kontingenciatáblát. Relatív gyakoriságokat is lehetne használni.

	Fiú	Lány	Peremgyakoriságok
10. osztály	10	10	20
11. osztály	4	16	20
Peremgyakoriságok	14	26	40

A 10. osztályban a peremgyakoriságok a tanulók nemének elhanyagolásával 20. Ugyanez az eredmény a 11. osztályban, így mivel nincs több vizsgált osztály, a peremeloszlás egyenletes. Az osztályok különböző jellemzőként megmaradnak.

Vannak azonban folytonos jellemzők, melyeket nem lehet kontingenciatáblába rendezni. Ilyennek tekinthető például a testmagasság. Itt minden határ önkényes, és különféle határok meghúzása más-más eredményt adhat. A kategóriákat úgy alakítják, hogy diszjunktak legyenek. Ha a kategóriák szűkek, akkor lehet, hogy túl kevesen esnek egy kategóriába, illetve a kontingenciatábla túl nagy, áttekinthetetlen lesz. Nem javasolják a természetszerűleg folytonos valószínűségi változók diszkretizálását.

Definíció

Adva legyen egy $Z=(X_{1},\dotsc ,X_{n})$ valószínűségi vektorváltozó, és eloszlása $P_{Z}$ mint valószínűségi mérték. Ekkor a

$P_{X_{i}}(A):=P_{Z}(\Omega _{1}\times \dotsb \times \Omega _{i-1}\times A\times \Omega _{i+1}\times \dotsb \times \Omega _{n})$

eloszlás $Z$ i-edik peremeloszlása. Alternatívan, úgy is definiálható, mint

$P_{X_{i}}(A)=P(X_{1}\in \Omega _{1},\dotsc ,X_{i-1}\in \Omega _{i-1},X_{i}\in A,X_{i+1}\in \Omega _{i+1},\dotsc ,X_{n}\in \Omega _{n})$.

Kétdimenziós esetben, ha $Z=(X,Y)$, akkor az első peremeloszlás

$P_{X}(A)=P_{Z}(A\times \Omega _{2}){\text{ illetve }}P_{X}(A)=P(X\in A,Y\in \Omega _{2})$.

Peremeloszlás definiálható minden $J\subset I=\{1,\dotsc ,n\}$ indexhalmazra. Ha $|J|=m$, akkor ezek m dimenziós peremeloszlások. Ezek definiálhatók, mint

$P_{X_{J}}(A)\;=\;{\begin{cases}P(X_{i}\in A_{i})&{\mbox{ha }}i\in J\\X_{i}\in \Omega _{i}&{\mbox{egyébként }}\end{cases}}$

ahol $A=\prod _{i\in J}A_{i}$.

Elemi tulajdonságok

• Pontosan ${\tbinom {n}{m}}$ számú m dimenziós peremeloszlás létezik.
• Mértékelméleti szempontból a peremeloszlások a többdimenziós mérték vetülete egy vagy több dimenzióra.
• Ha az összes $X_{i}$ valószínűségi változó független, akkor a valószínűségi vektorváltozó eloszlása az egydimenziós peremeloszlások szorzata.

Származtatott fogalmak

Peremeloszlásfüggvények

Ha a $Z$ valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye $F_{Z}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$, akkor egy peremeloszlásfüggvény a megfelelő peremeloszlás eloszlásfüggvénye. Egydimenziós esetben

$F_{X_{i}}(x_{i})=F_{Z}(\infty ,\dotsc ,\infty ,x_{i},\infty ,\dotsc ,\infty )$.

Az i-edik kivételével mindegyiket végtelennel helyettesítik. Hasonlóan megy más dimenziókban is, a $J$-ben adott dimenziókat megtartják, a többit végtelennel helyettesítik. Kétdimenziós esetben, ha $Z=(X,Y)$, akkor az első peremeloszlásfüggvény

$F_{X}(x)=F_{Z}(x,\infty )$.

Peremsűrűség

Az előzőhöz hasonlóan definiálhatók a peremsűrűségek. Ezek azok az $f_{X_{i}}$ függvények, melyekre

$F_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{x_{i}}f_{X_{i}}(t)\ \mathrm {d} t$

Ha a $Z$ valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye $f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})$, akkor a peremsűrűségfüggvények definiálhatók, mint

$f_{X_{i}}(x_{i}):=\int _{-\infty }^{\infty }\dotsi \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\dotsi \int _{-\infty }^{\infty }f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\dotsc ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\dotsm \mathrm {d} x_{i-1}\mathrm {d} x_{i+1}\dotsm \mathrm {d} x_{n}$.

Az m-dimenziós esetben azokon a koordinátákon kell integrálni, amelyek nem tartoznak $J$-be. Ha $Z=(X,Y)$, akkor a peremsűrűségek

$f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Z}(x,y)\ \mathrm {d} y$

$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Z}(x,y)\ \mathrm {d} x$

Perem-valószínűségi tömegfüggvény

A sűrűségfüggvényekhez hasonlóan definiálhatók és számíthatók, de itt az integrált összegzés helyettesíti. Ha a $Z$ valószínűségi tömegfüggvénye $f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})$, akkor az i-edik perem-valószínűségi tömegfüggvény

$f_{X_{i}}(x_{i})=\sum _{j\neq i \atop x_{j}\in \mathbb {Z} }f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{n})$.

Hasonlóan definiálható a többdimenziós eset, azokat a koordinátákat kell összegezni, amelyek nem tartoznak $J$-be. Kétdimenziós esetben, ha $Z=(X,Y)$, akkor

$f_{X}(x_{i})=\sum _{k\in K}f_{Z}(x_{i},y_{k})$

$f_{Y}(y_{k})=\sum _{i\in I}f_{Z}(x_{i},y_{k})$.

Példa

Legyen $Z=(X,Y)$ kétdimenziós multinomiális eloszlású, tehát $Z\sim M(n,(p,1-p))$. Ekkor $Z$ valószínűségi tömegfüggvénye

$f_{Z}(x,y)\;=\;{\begin{cases}{n \choose x,y}\;p^{x}(1-p)^{y}&{\mbox{ha }}x+y=n\\0&{\mbox{különben}}\end{cases}}$,

ahol ${n \choose x,y}$ multinomiális együttható. Az $y=n-x$ helyettesítéssel

$f_{Z}(x,y)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.

A valószínűségi tömegfüggvény $y$-tól függetlenül is ábrázolható. Így $X$ peremsűrűsége, amit minden $y$-ra összegezve kaphatunk, újra $Z$ valószínűségi tömegfüggvényét adja, csak $y$ mint változó nélkül. Tehát az

$f_{X}(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}$

perem-valószínűségi tömegfüggvény binomiális eloszlású az $p$ és $n$ paraméterekkel.

Legyen most $Z=(X_{1},\dotsc ,X_{m})$ $m$ dimenziós multinomiális eloszlású, tehát $Z\sim M(n,(p_{1},\dotsc ,p_{m}))$, ahol $p_{1}+\dotsb +p_{m}=1$. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

$f_{Z}(x_{1},\dotsc ,x_{m})\;=\;{\begin{cases}{n \choose x_{1},\dotsc ,x_{m}}\;p_{1}^{x_{1}}\dotsm p_{k}^{x_{m}}&{\mbox{ha }}x_{1},\dotsc ,x_{k}\in \mathbb {N} _{0}{\mbox{ és }}x_{1}+\dotsb +x_{m}=n\\0&{\mbox{különben}}\end{cases}}$.

Az első peremeloszlás számításához az $x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{m}$ változók szerint kell összegezni. A számítás egyszerűsítéséhez elvégezzük az $p_{2}+\dotsb +p_{m}=1-p_{1}$ és $x_{1}=n-(x_{2}+\dotsb +x_{3})$ csoportosításokat. A multinomiális tétellel következik, hogy a peremeloszlás binomiális lesz, az $n$ és $p_{1}$ paraméterekkel.

Kapcsolódó fogalmak

Ahhoz, hogy jellemezzenek egy többdimenziós eloszlást, nemcsak a peremeloszlást és a korrelációt kell tekintetbe venni, hanem az összefüggést más adatokkal is pontosabban kell jellemezni. A korreláció csak a lineáris függést jellemzi, emiatt használnak kopulákat és rangkorrelációkat, amelyek minden párt külön jellemeznek.

Előzetes tudás birtokában a feltételes eloszlás is meghatározható a peremeloszlások felhasználásával.

Források

• I. N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch ISBN 3-8171-2006-0.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2.
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Randverteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.