Valószínűségi tömegfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel.[1] A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.

Többnyire olyan eloszlásokat vizsgálnak, amelyek természetes számokat vesznek fel értékként. A függvény minden természetes számhoz hozzárendeli annak valószínűségét. Például egy szabályos dobókockával való dobáshoz egytől hatig az egészekhez-ot, ezen kívül nullát rendel.

A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké. Mértékelméleti szempontból sűrűségfüggvény a számossági mérték szerint. Általánosabb összefüggésben súlyfüggvénynek is nevezik.

Tömegfüggvény: minden érték nemnegatív és összegük=1

Formális meghatározás[szerkesztés]

Dobókocka tömegfüggvénye

Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.

Tegyük fel, hogy X: SA (A R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény fX: A → [0, 1] ahol X:[2][3]

A valós számokra kiterjesztve a definíció

}}

Jegyezzük meg: fX valós szám, fX(x) = 0 minden x X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: SAn, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.

Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény fX(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.

Valószínűségeloszlás konstrukciója[szerkesztés]

Adva legyen az függvény, amit jellemeznek a következők:

  • minden esetén. Tehát minden természetes számhoz hozzárendel egy nulla és egy közötti valós számot.
  • normált abban az értelemben, hogy értékeinek összege egy. Azaz
.

Ekkor valószínűségi tömegfüggvény, és definíciója

minden esetén egy egyértelmű valószínűségeloszlás, ellátva a eseményalgebrával.

Valószínűségeloszlásból származtatva[szerkesztés]

Adva legyen egy valószínűségeloszlás az természetes számokon, ellátva a eseményalgebrával. Legyenek továbbá értékei az halmazból! Ekkor az függvény, aminek definíciója

a valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan, az függvény az

definícióval az valószínűségi tömegfüggvénye.

Példák[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:

Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.

A binomiális eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

ahol és az eloszlás paraméterei ( természetes, valós szám). A normáltság következik a binomiális tételből, hiszen

.

A geometriai eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

ha

egy rögzített paraméterrel. A normáltság a geometriai sorból következik, mivel

.

Általánosabb valószínűségi tömegfüggvény[szerkesztés]

A definíció kiterjeszthető általánosabb diszkrét eloszlásokra is, ahol az értékek nem feltétlenül természetes számok, de legfeljebb megszámlálhatóan végtelen van belőlük. Legyen egy ilyen halmaz, és legyen függvény úgy, hogy

,

ekkor alapján definiálható egy eloszlás:

minden valós számra.

Ez az eloszlás egyértelmű az eseményalgebrán.[4]

Megfordítva, ha valószínűségeloszlás az eseményalgebrán, és egy valószínűségi változó, amely értékeit az halmazból veszi fel, akkor az függvény, amelynek definíciója

,

a valószínűségeloszlás általánosított valószínűségi tömegfüggvénye. Továbbá az valószínűségi változó valószínűségi tömegfüggvénye egy függvény:

[5]

Alternatív definíció[szerkesztés]

Egyes szerzők először definiálják a valós sorozatokat azzal, hogy minden esetén és . Elnevezik ezeket a sorozatokat valószínűségi vektoroknak[6] vagy sztochasztikus soroknak, vektoroknak.[7][8]

Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény egy függvény, melynek definíciója

minden esetén. Megfordítva, minden n értelmezett valószínűségeloszláshoz vagy valószínűségi változóhoz tartozik egy fölötti valószínűségi vektor, illetve valószínűségi vektor.

Vannak továbbá szerzők, akik magát a valószínűségi vektort nevezik valószínűségi tömegfüggvénynek.[9]

További példák[szerkesztés]

Tipikus példa a diszkrét egyenletes eloszlás egy véges halmazon. Ekkor a valószínűségi tömegfüggvény

minden esetén.

Véletlen sorozatok segítségével is konstruálható a valószínűségi tömegfüggvény: Legyen pozitív valós számok legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sorozata, az indexhalmazzal, azzal együtt, hogy

.

Ekkor

.

Ezzel sztochasztikus sorozat, ami valószínűségi tömegfüggvényt definiált. Ha például az

ha ,

sorozatot tekintjük, akkor

a normálási konstans.

Tehát a valószínűségi tömegfüggvény

, ami a Poisson-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye.

Valószínűségi változók mérőszámai[szerkesztés]

A valószínűségi változók és valószínűségeloszlások fontos mérőszámai meghatározhatók a valószínűségi tömegfüggvény alapján.

Várható érték[szerkesztés]

Ha valószínűségi változó -beli értékekkel, és valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor várható értéke

.

Ez mindig létezik, de lehet végtelen is.

A várható érték általános esetben hasonlóan számítható, de nem biztos, hogy létezik. Legyen legfeljebb megszámlálható végtelen halmaz, és vegyen fel az valószínűségi változó -beli értékeket, továbbá legyen valószínűségi tömegfüggvénye , ekkor a várható érték, ha létezik, akkor

.

Szórás[szerkesztés]

A szórásnégyzet, szórás is kiszámítható. Legyen valószínűségi változó -beli értékekkel, és valószínűségi tömegfüggvénnyel, akkor szórásnégyzete

,

ahol a várható érték.

Az eltolási tételt felhasználva

Hasonlóan, ha az értékek -ból valók:

feltéve, ha a szórás létezik.

Módusz[szerkesztés]

A diszkrét valószínűségi változó módusza a valószínűségi tömegfüggvény alapján értelmezhető: Ha az valószínűségi változó -ből vesz fel értékeket, és valószínűségi tömegfüggvénye , akkor módusza .

A módusz hasonlóan értelmezhető, ha a valószínűségi változó helyett valószínűségeloszlásból indulunk ki. A módusz szintén

.

Általában, ha legfeljebb megszámlálható végtelen, és rendezhető az sorozatba úgy, hogy , akkor módusz, hogyha

[10]

Tulajdonságok[szerkesztés]

Eloszlásfüggvények[szerkesztés]

Ha valószínűségi tömegfüggvény -en, akkor az eloszlásfüggvény a megfelelő valószínűségi mérték szerint

ahol az egészrészfüggvény, azaz a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb -nél (kisebb, vagy egyenlő vele).

Ha a legfeljebb megszámlálható végtelen halmazon van értelmezve, akkor a valószínűségi mérték eloszlásfüggvénye

.

Például lehet , vagy .

Valószínűségi változók összege és konvolúciója[szerkesztés]

A diszkrét valószínűségi változók esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a valószínűségi tömegfüggvények konvolúciójára. Legyenek valószínűségeloszlások, és valószínűségi tömegfüggvényeik rendre és , ekkor

,

ahol a és , az és konvolúciója. Tehát a valószínűségeloszlások konvolúciójának valószínűségi tömegfüggvénye ugyanaz, mint valószínűségi tömegfüggvényeik konvolúciója.

Ez a tulajdonság egyszerűen átvihető független valószínűségi változókra. Ha független valószínűségi változók rendre az és valószínűségi tömegfüggvényekkel, akkor

.

Tehát az összeg valószínűségi tömegfüggvénye a valószínűségi változók valószínűségi tömegfüggvényének konvolúciója.

Valószínűséggeneráló függvény[szerkesztés]

-en minden valószínűségeloszláshoz hozzárendelhető valószínűséggeneráló függvény. Ez polinom vagy hatványsor, melynek együtthatói rendre éppen a valószínűségi tömegfüggvény értékei. Így a definíció

,

ahol egy valószínűségeloszlás valószínűségi tömegfüggvénye. Hasonlóan definiálható valószínűségi változó valószínűséggeneráló függvénye is.

A valószínűséggeneráló függvények megkönnyítik a valószínűségeloszlások vizsgálatát és a velük való számolást. Így például konvolúció helyett elég szorozni, majd a valószínűséggeneráló függvényből visszakövetkeztetni. Az eloszlás fontos adataira (mint várható érték, szórás) is lehet a valószínűséggeneráló függvényből következtetni.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Stewart, William J.. Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling. Princeton University Press, 105. o. (2011). ISBN 978-1-4008-3281-1 
  2. Kumar, Dinesh. Reliability & Six Sigma. Birkhäuser, 22. o. (2006). ISBN 978-0-387-30255-3 
  3. Rao, S.S.. Engineering optimization: theory and practice. John Wiley & Sons, 717. o. (1996). ISBN 978-0-471-55034-1 
  4. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 196.
  5. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 4.
  6. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 13.
  7. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 63.
  8. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 234.
  9. Georgii: Stochastik. 2009, S. 18.
  10. A.V. Prokhorov.szerk.: Michiel Hazewinkel: az Encyclopaedia of Mathematics Mode cikke. Berlin: Springer-Verlag (2002). ISBN 1-4020-0609-8 

Irodalom[szerkesztés]

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A: Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0-471-54897-9  
  • Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 
  • Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9 
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-17260-1 
  • Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]