Mellin-transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció, amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el. A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója. Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal. Gyakran használják a számelméletben, a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében. Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz, a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez.

A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai, hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki. Először Bernhard Riemann-nál található meg, aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta. A transzformáció, valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg. A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre.

Definíció[szerkesztés]

Egy, a pozitív valós számokon definiált függvény Mellin-transzformáltja:

a komplex s számokra, ahol az integrál konvergál. Az irodalomban a tényrezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják, így

ahol a gamma-függvény.

Inverz transzformáció[szerkesztés]

Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál:

ahol f Mellin-transzformáltja, és .

Az inverz transzformáció feltételei:

  • Az integrál abszolút konvergens az csíkokban
  • analitikus az csíkokban
  • Az kifejezés nullához tart, ha , és c egyenletesen tart 0-hoz
  • Az függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén, ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni (lépcsős függvény)

Kapcsolat a többi transzformációval[szerkesztés]

A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz. Ugyanis elvégezve az helyettesítést lesz, és Fourier-transzformáltja , akkor

.

Megfordítva, :

A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval:

és megfordítva, a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval:

A Mellin-transzformáció értelmezhető egy xs magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény szerint, ami invariáns a dilatációra, így .

A kétoldali Laplace-transzformáció a additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns, azaz .

A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel, a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által.

Példák[szerkesztés]

Dirichlet-sor[szerkesztés]

A Mellin-transzformációval egy Dirichlet-sor és egy hatványsor kapcsolatba hozható egymással. Legyenek

és

ugyanazokkal az együtthatókkal. Ekkor

.

Ha itt minden , akkor a Riemann-féle zéta-függvény, és kapjuk a következőt:

.

Cahen–Mellin-integrál[szerkesztés]

Ha , és a főágból, akkor

ahol a gamma-függvény. Ez az integrál ismert, mint Cahen-Mellin-integrál.[1]

Számelmélet[szerkesztés]

A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az

függvényhez kapcsolódik, amire

feltéve, hogy

Izometria L2-terekben[szerkesztés]

A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be. Az -tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik , így definíciója

azaz

Ezt az operátort gyakran csak mint jelölik, és Mellin-transzformációnak nevezik, de cikkünkben megkülönböztetésként az jelölést használjuk a továbbiakban. A Mellin-inverzió tétele szerint invertálható, és inverze

Továbbá ez az operátor izometria, vagyis minden -re. Emiatt szerepel a képletben az tényező.

A valószínűségszámításban[szerkesztés]

A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához.[2] Ha X véletlen valószínűségi változó, és pozitív része X+ = max{X,0}, negatív része X − = max{−X,0}, akkor Mellin-transzformáltja[3]

ahol γ a γ2 = 1 formális határozatlanja. Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b} sávban, ahol a ≤ 0 ≤ b.[3]

Az Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó FX eloszlásfüggvényét.[3] Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is, hogy ha X és Y független valószínűségi változók, akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak:

Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerben[szerkesztés]

A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki:

Két dimenzióban például

és három dimenzióban

Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető,[4] mivel:

Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben:

beszorozva

sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik:

aminek általános megoldása:

Most vegyük figyelembe a peremfeltételt:

partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció:

.

Ezzel partikularizáljuk a megoldást:

A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz:

ahol az inverz transzformáció

ahol .

Alkalmazások[szerkesztés]

A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával. Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredetié.

Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben. A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik.

Források[szerkesztés]

  • M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
  • E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0828403245.
  • D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Hardy, G. H. (1916). „Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41 (1), 119–196. o. DOI:10.1007/BF02422942.   (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
  2. (Galambos & Simonelli 2004, p. 15)
  3. ^ a b c (Galambos & Simonelli 2004, p. 16)
  4. Bhimsen, Shivamoggi, Chapter 6: The Mellin Transform, par. 4.3: Distribution of a Potential in a Wedge, p. 267-8

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin-Transformation című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin transform című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.