Mellin-transzformáció

Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció, amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el. A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója. Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal. Gyakran használják a számelméletben, a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében. Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz, a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez.

A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai, hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki. Először Bernhard Riemann-nál található meg, aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta. A transzformáció, valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg. A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre.

Definíció

Egy, a pozitív valós számokon definiált $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ függvény Mellin-transzformáltja:

$M_{f}(s):=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t$

a komplex s számokra, ahol az integrál konvergál. Az irodalomban a ${\tfrac {1}{\Gamma (s)}}$ tényezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják, így

${\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.$

ahol $\Gamma$ a gamma-függvény.

Inverz transzformáció

Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál:

$f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }M_{f}(s)x^{-s}\mathrm {d} s$

ahol $M_{f}(s)$ f Mellin-transzformáltja, és $b>c>a>0$.

Az inverz transzformáció feltételei:

• Az $M_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}\mathrm {d} x$ integrál abszolút konvergens az $S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}$ csíkokban
• $M_{f}(s)$ analitikus az $S=\{s\in \mathbb {C} \ |\ a<\Re (s)<b\}$ csíkokban
• Az $M_{f}(c\pm it)$ kifejezés nullához tart, ha $t\to \infty$, és c egyenletesen tart 0-hoz
• Az $f(x)$ függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén, ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni (lépcsős függvény)

Kapcsolat a többi transzformációval

A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz. Ugyanis elvégezve az $t=e^{x}$ helyettesítést $F(x)=f(e^{x})$ lesz, és $F$ Fourier-transzformáltja ${\widehat {F}}$, akkor

$M_{f}(is)={\sqrt {2\pi }}{\widehat {F}}(s)$.

Megfordítva, :$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is).$

A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

és megfordítva, a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).$

A Mellin-transzformáció értelmezhető egy x^s magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény $dx$ szerint, ami invariáns a $x\mapsto ax$ dilatációra, így ${\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};$.

A kétoldali Laplace-transzformáció a $dx$ additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns, azaz $d(x+a)=dx$.

A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel, a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által.

Példák

Dirichlet-sor

A Mellin-transzformációval egy $f$ Dirichlet-sor és egy $F$ hatványsor kapcsolatba hozható egymással. Legyenek

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}$ és $F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$

ugyanazokkal az $a_{n}$ együtthatókkal. Ekkor

$f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}\mathrm {d} t$.

Ha itt minden $a_{n}=1$, akkor $f$ a Riemann-féle zéta-függvény, és kapjuk a következőt:

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}\mathrm {d} t$.

Cahen–Mellin-integrál

Ha $c>0$, $\Re (y)>0$ és $y^{-s}$ a főágból, akkor

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$

ahol $\Gamma (s)$a gamma-függvény. Ez az integrál ismert, mint Cahen-Mellin-integrál.

Számelmélet

A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az

$f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{a}&x>1,\end{cases}},$

függvényhez kapcsolódik, amire

${\mathcal {M}}f(s)=-{\frac {1}{s+a}},$

feltéve, hogy $\Re (s+a)<0.$

Izometria L²-terekben

A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be. Az $L^{2}(0,\infty )$-tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$, így ${\tilde {\mathcal {M}}}$ definíciója

${\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.$

azaz

$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).$

Ezt az operátort gyakran csak mint ${\mathcal {M}}$ jelölik, és Mellin-transzformációnak nevezik, de cikkünkben megkülönböztetésként az ${\tilde {\mathcal {M}}}$ jelölést használjuk a továbbiakban. A Mellin-inverzió tétele szerint ${\tilde {\mathcal {M}}}$ invertálható, és inverze

${\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.$

Továbbá ez az operátor izometria, vagyis $\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}$ minden $f\in L^{2}(0,\infty )$-re. Emiatt szerepel a képletben az $1/{\sqrt {2\pi }}$ tényező.

A valószínűségszámításban

A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához. Ha X véletlen valószínűségi változó, és pozitív része X⁺ = max{X,0}, negatív része X⁻ = max{−X,0}, akkor Mellin-transzformáltja

${\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),$

ahol γ a γ² = 1 formális határozatlanja. Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b} sávban, ahol a ≤ 0 ≤ b.

Az $\scriptstyle {\mathcal {M}}_{X}(it)$ Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó F_X eloszlásfüggvényét. Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is, hogy ha X és Y független valószínűségi változók, akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak:

${\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)$

Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerben

A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki:

${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)=f_{rr}+{f_{r} \over r}$

Két dimenzióban például

$\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}$

és három dimenzióban

$\nabla ^{2}f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.$

Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető, mivel:

${\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\rightarrow s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\rightarrow s\right)=s^{2}F$

Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben:

$r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0$

beszorozva

${1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0$

sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik:

$F_{\theta \theta }+s^{2}F=0$

aminek általános megoldása:

$F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )$

Most vegyük figyelembe a peremfeltételt:

$f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)$

partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció:

$F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)$.

Ezzel partikularizáljuk a megoldást:

$F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}$

A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz:

$f(r,\theta )={\frac {r^{m}}{2\theta _{0}}}\cos m\theta \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m-1}a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}dx+\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m-1}b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}dx\right)$

ahol az inverz transzformáció

${\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\phi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\rightarrow r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\phi )}{1+2r^{m}\cos(m\phi )+r^{2m}}}$

ahol $m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}$.

Alkalmazások

A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával. Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredetié.

Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben. A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik.

Források

• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
• E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0828403245.
• D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

• Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. (2004). ISBN 0-8247-5402-6 
• Paris, R. B.. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press (2001) 
• Polyanin, A. D.. Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press (1998). ISBN 0-8493-2876-4 
• Flajolet, P. (1995). „Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2), 3–58. o. DOI:10.1016/0304-3975(95)00002-e.  
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Sablon:Springer
• Weisstein, Eric W.: Mellin Transform (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin-Transformation című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin transform című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.