Fourier-transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Legyen az függvény Lebesgue-integrálható az intervallumon. Ekkor Fourier-transzformáltja az

függvény.

A Fourier-transzformáció kiterjeszthető a négyzetesen Lebesgue-integrálható függvények terére:

,

ahol az összes függvény integrálható. Ha az intervallum végtelen, akkor ez egy valódi kiterjesztés.

A Fourier-transzformáció disztribúciókra is definiálható.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Vezessük be a következő műveleteket:

transzláció
moduláció
dilatáció

Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:

Jelölje a konvolúciót. Ekkor

Legyen és jelölje deriváltját . Ha és is integrálható, akkor mindenütt differenciálható, és

A Fourier-transzformáció invertálható:

Fourier-sorok[szerkesztés]

A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:

ahol az alapfrekvencia, a periódus reciproka.

  • A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
  • Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
  • A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az korlátos változású függvény Fourier-sora minden pontban -beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart.
  • A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz-Fischer-tétel közvetlen következménye.

Példák[szerkesztés]

  • Háromszögjel:
A háromszögjel különböző közelítései

A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben jelöli az amplitúdót:

  • Négyszögjel:
A négyszögjel különböző közelítései

Hasonlóan a négyszögjel:

  • Fűrészfogjel: (növekvő)
A fűrészfogjel különböző közelítései

Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:

  • Szinuszjel:
A szinuszjel abszolútértékének különböző közelítései

Diszkrét Fourier-transzformáció[szerkesztés]

A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:

Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges. Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.

Gyors Fourier-transzformáció[szerkesztés]

A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez egyenközű mintavétel szükséges, ahol . Műveletigénye . A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.

A sor:

ahol

Algoritmus[szerkesztés]

A gyors Fourier-transzformáció egy rekurzív algoritmus, ami az Oszd meg és uralkodj! elvén működik.

Legelőször is idézzük fel, hogy a pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:

Legyenek a páros indexű együtthatók

és ezek diszkrét Fourier-transzformálja

;

hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat

és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

.

Ekkor:

Pszeudokód[szerkesztés]

Az algoritmus pszeudokódja:

Alkalmazások[szerkesztés]

A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van:

  • a valószínűségszámítás, statisztika elméletében
  • a jelfeldolgozásban
  • a hang- és videotechnikában
  • a rezgésanalízisben
  • analóg áramkörök leírásában
  • spektrométerekben
  • differenciálegyenletek megoldásában
  • távközlő rendszerekben

Források[szerkesztés]