Parciális integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikai analízisben a parciális integrálás tétele segítségével egy integrálkifejezés integrandusát lehet átalakítani, mely egyes számítások megkönnyítésére szolgál. Abban az esetben előnyös alkalmazni, amikor az első tényező, illetve a második tényező deriváltja szorzatának egyszerűbb megadni a primitív függvényét, mint a szorzatát.

Ha adott két függvény , illetve alakban, a parcális integrálás szabálya szerint ekkor az integrál az alábbiak szerint írható át:

.

Elméleti levezetése[szerkesztés]

Legyen g(x) és f(x) két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

.

Mindkét oldalt x szerint integrálva kapjuk, hogy

.

A határozatlan integrál értelmezését használva:

, ebből pedig:

.

Alkalmazásai[szerkesztés]

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes f(x)-nek illetve g(x)-nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények[szerkesztés]

Számítsuk ki L-et, ahol

L= .

Legyen

,

.

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát :

.

Ahol C egy integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények[szerkesztés]

Számítsuk ki L-et,ahol

,

írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

.

Legyen

,

.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

,

ahol C egy integrálási állandó. Számítsuk ki L-et, ahol

,

majd írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

.

Legyen

,

.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

,

ahol C egy integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzatának esete[szerkesztés]

Számítsuk ki L-et,ahol

,

írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

.

Legyen

,

.

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

.

Tehát

.

ahol C integrálási állandó.

Jegyzetek[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]