Másodfokú függvény

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő $x$-helyhez ezen $x$ hely négyzetértékét rendeli hozzá.

Általános tudnivalók

Függvényképe parabola. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy $ax^{2}+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\neq 0$

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

$f(x)=(dx+e)^{2}+f$.

Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Zérushelyek száma

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából ($D$) következik ($D=b^{2}-4ac$):

• ha $D>0$, akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
• ha $D=0$, akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
• ha $D<0$, akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Az alapfüggvény jellemzése

A másodfokú függvény ($f(x)=x^{2}$) alapfüggvényének általános jellemzése:

• Értelmezési tartomány: $D_{f}:x\in \mathbb {R}$
• Értékkészlet: $R_{f}:y\in \mathbb {R} ^{+}\cup {0}$
• Szélsőértékek (extrémumok):
  • x_min = 0;
  • y_min = 0;
  • x_max = ∅;
  • y_max = ∅.
• Zérushelyek: $x_{1}=0$
• Monotonitás:
  • $f(x)$ szigorúan monoton csökkenő az $x\in ]-\infty ;0[$ nyílt intervallumon;
  • $f(x)$ szigorúan monoton növekvő az $x\in ]0;+\infty [$ nyílt intervallumon.
• Paritás: páros függvény.
• Korlátosság: alulról korlátos.
• Előjeles alakulás:
  • $f(x)>0$ (vagyis $f(x)$ pozitív) az $x\in \mathbb {R}$ tartományban;
  • $f(x)=0$, ha $x=0$
  • $f(x)<0$ (vagyis $f(x)$ negatív) az $x\in \emptyset$ tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
• Folytonosság: a folytonosság fennáll.
• Inflexiós pont(ok):

f ''(x₀) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

• Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
• Deriváltjai:
  • $f'(x)=2x$.
  • $f''(x)=2$.
  • $f'''(x)=0$.

A másodfokú függvények analízise általánosítva

• Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója ($a$) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha $a$ negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
• Zérushelyek:
  • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
  • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
• Paritás:
  • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha $b=0$.
  • A függvény páratlan paritása kizárt.
  • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
• Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
• Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az $x$ tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

• Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az $x\in ]a;b[$ nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a $-\infty$; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

• Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

• Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

• Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

Források

• Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest. ISBN 978 963 2790 114 (2006)