Másodfokú függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő -helyhez ezen hely négyzetértékét rendeli hozzá. Azaz legmagasabb fokú tagja másodfokú.

Általános tudnivalók[szerkesztés]

Az egyváltozós másodfokú függvény standard alakja :. Adva lehet tényezős alakban, ahol r1 és r2 a függvény gyökei, vagy csúcsponti formában, ahol h és k a csúcspont x és y koordinátái. A standard alakról a tényezős alakra a megfelelő egyenlet megoldásával, a csúcsponti formára kiemeléssel és teljes négyzetté alakítással lehet áttérni.

Függvényképe parabola, melynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

,

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

.

Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
<0: x²+12
=0: −43x²+43x13
>0: ³⁄2x²+12x43

Zérushelyek száma[szerkesztés]

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából () következik ():

  • ha , akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
  • ha , akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
  • ha , akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Grafikon[szerkesztés]

Az standard formájú másodfokú függvény parabolája:

  • Ha a > 0, akkor a parabola felfelé nyitott, a függvény konvex
  • Ha a < 0, akkor a parabola lefelé nyitott, a függvény konkáv

Az a főegyüttható kapcsolódik a parabola paraméteréhez: a nagyobb abszolútértékű a meredekebbé teszi a parabolát. Azonban, mivel a grafikon nem egyenes, azért ez nem meredekség, azt a derivált adja meg: .

A szimmetriatengelyt a b és az a együtthatók határozzák meg. Ennek helye megegyezik a csúcspont x koordinátájával és a csúcsponti alak h paraméterével:

A c konstans tag az y tengelymetszet magassága.

Csúcspont[szerkesztés]

A parabola csúcspontja az a pont, ahol a parabola monotonitást vált: csökkenőből növekvővé, vagy növekedőből csökkenővé fordul. A csúcspont a másodfokú függvény szélsőértékhelye, illetve szélsőértéke. Ha a < 0, akkor maximum, ha a > 0, akkor minimum. Koordinátái a csúcsponti egyenletből olvashatók le:: (h, k).

Az standard formából a (h, k) koordináták a főegyüttható kiemelésével és teljes négyzetté kiegészítésével a következő formára hozható:

Tehát a (h, k) csúcspont a standard formából kapható, mint:

Az tényezős alakból a csúcspont x koordinátája, melynek behelyettesítésével megkapható az y koordináta is:

Az függőleges egyenes a parabola tengelye.

Analízis[szerkesztés]

Az standard formájú másodfokú függvény szélsőértéke is meghatározható az deriváltja segítségével. A függvény szélsőértéke ott van, ahol a derivált értéke nulla. A derivált elsőfokú, így egyetlen gyöke: és a hozzá tartozó függvényérték:

Ezzel újra a csúcspont koordinátáihoz jutunk:

Az alapfüggvény jellemzése[szerkesztés]

A másodfokú függvény () alapfüggvényének általános jellemzése:

  • Értelmezési tartomány:
  • Értékkészlet:
  • Szélsőértékek (extrémumok):
    • xmin = 0;
    • ymin = 0;
    • xmax = ∅;
    • ymax = ∅.
  • Zérushelyek:
  • Monotonitás:
    • szigorúan monoton csökkenő az nyílt intervallumon;
    • szigorúan monoton növekvő az nyílt intervallumon.
  • Paritás: páros függvény.
  • Korlátosság: alulról korlátos.
  • Előjeles alakulás:
    • (vagyis pozitív) az tartományban;
    • , ha
    • (vagyis negatív) az tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
  • Folytonosság: a folytonosság fennáll.
  • Inflexiós pont(ok):

f ''(x0) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

  • Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
  • Deriváltjai:
    • .
    • .
    • .

A másodfokú függvények analízise általánosítva[szerkesztés]

  • Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója () pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
  • Zérushelyek:
    • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
    • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
    • a gyökök abszolútértéke nem nagyobb, mint , ahol az aranymetszés.[1]
  • Paritás:
    • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha .
    • A függvény páratlan paritása kizárt.
    • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
  • Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
  • Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

  • Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a ; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

  • Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

  • Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

  • Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

A másodfokú függvények négyzetgyöke[szerkesztés]

A másodfokú függvények négyzetgyöke különböző kúpszeleteket írhat le, jellemzően hiperbolát vagy ellipszist.

Ha , akkor az egyenlet hiperbolát ír le. A tengelyek iránya az egyenletű parabola minimumpontjának ordinátájától függ. Ha ez negatív, akkor a hiperbola főtengelye vízszintes, ha pozitív, akkor függőleges.

Ha , akkor az egyenlet ellipszist, vagy üres ponthalmazt ír le. Speciális esetként kör is lehet. Ez attól függ, hogy az parabola maximumpontjának ordinátája milyen előjelű. Ha pozitív, akkor van ellipszis, ha negatív, akkor nincs.

Kétváltozós másodfokú függvény[szerkesztés]

Egy kétváltozós másodfokú függvény alakja

ahol A, B, C, D, E rögzített együtthatók, és F konstans tag. Grafikonja másodrendű felület, melynek metszete az síkkal kúpszelet. Így lesz a kúpszeletek egyenlete kétváltozós.

  • Ha , akkor a függvény képe hiperbolikus paraboloid, szélsőértékek nincsenek.
  • Ha , akkor a függvény képe elliptikus paraboloid. A függvénynek minimuma van, ha A>0, és maximuma, ha A<0. Jelölje a szélsőérték helyét és értékét , ekkor:
  • Ha és akkor a függvény képe parabolikus henger, szélsőértékek nincsenek.
  • Ha és akkor a függvény képe parabolikus henger, és szélsőértékét egy egyenes mentén veszi fel. Ez minimum, ha A>0, és maximum, ha A<0.

Források[szerkesztés]

Commons:Category:Quadratic function
A Wikimédia Commons tartalmaz Másodfokú függvény témájú médiaállományokat.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratic function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.