Másodfokú függvény
Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő -helyhez ezen hely négyzetértékét rendeli hozzá.
Tartalomjegyzék
Általános tudnivalók[szerkesztés]
Függvényképe parabola. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.
Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:
,
melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:
.
Zérushelyek száma[szerkesztés]
Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából () következik ():
- ha , akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
- ha , akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
- ha , akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.
Az alapfüggvény jellemzése[szerkesztés]
A másodfokú függvény () alapfüggvényének általános jellemzése:
- Értelmezési tartomány:
- Értékkészlet:
- Szélsőértékek (extrémumok):
- xmin = 0;
- ymin = 0;
- xmax = ∅;
- ymax = ∅.
- Zérushelyek:
- Monotonitás:
- szigorúan monoton csökkenő az nyílt intervallumon;
- szigorúan monoton növekvő az nyílt intervallumon.
- Paritás: páros függvény.
- Korlátosság: alulról korlátos.
- Előjeles alakulás:
- (vagyis pozitív) az tartományban;
- , ha
- (vagyis negatív) az tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
- Folytonosság: a folytonosság fennáll.
- Inflexiós pont(ok):
f ''(x0) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.
- Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
- Deriváltjai:
- .
- .
- .
A másodfokú függvények analízise általánosítva[szerkesztés]
- Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója () pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
- Zérushelyek:
- száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
- ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
- Paritás:
- Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha .
- A függvény páratlan paritása kizárt.
- Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
- Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
- Előjeles alakulás:
Ahol a függvény grafikonja az tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.
- Monotonitás:
A függvény szigorú monotonitását azon az nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a ; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.
- Folytonosság:
A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).
- Inflexiós pont(ok) és derivált:
Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.
- Konvexitás:
A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.
Források[szerkesztés]
- Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0
- Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 978 963 2790 114