Másodfokú függvény

$f(x) = x^2 - x - 2\,\!$

Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő $x$-helyhez ezen $x$ hely négyzetértékét rendeli hozzá.

Általános tudnivalók

Függvényképe parabola. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy $ax^2 + bx + c = 0$ alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

$f(x)=ax^2+bx+c$, $a \ne 0$

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

$f(x)=(dx + e)^2 + f$.

Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Zérushelyek száma

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából ($D$) következik ($D = b^2-4ac$):

• ha $D > 0$, akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
• ha $D = 0$, akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
• ha $D < 0$, akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Az alapfüggvény jellemzése

A másodfokú függvény ($f(x)= x^2$) alapfüggvényének általános jellemzése:

• Értelmezési tartomány: $D_f: x \in \mathbb{R}$

• Értékkészlet: $R_f: y \in \mathbb{R}^+ \cup {0}$

• Szélsőértékek (extrémumok):
  • x_min = 0;
  • y_min = 0;
  • x_max = ∅;
  • y_max = ∅.

• Zérushelyek: $x_1 = 0$

• Monotonitás:
  • $f(x)$ szigorúan monoton csökkenő az $x \in ]-\infty; 0[$ nyílt intervallumon;
  • $f(x)$ szigorúan monoton növekvő az $x \in ]0; +\infty[$ nyílt intervallumon.

• Paritás: páros függvény.

• Korlátosság: alulról korlátos.

• Előjeles alakulás:
  • $f(x)> 0$ (vagyis $f(x)$ pozitív) az $x \in \mathbb{R}$ tartományban;
  • $f(x)=0$, ha $x=0$
  • $f(x)< 0$ (vagyis $f(x)$ negatív) az $x \in \emptyset$ tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).

• Folytonosság: a folytonosság fennáll.

• Inflexiós pont(ok):

f ''(x₀) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

• Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.

• Deriváltjai:
  • $f '(x)= 2x$.
  • $f ''(x)= 2$.
  • $f '''(x)= 0$.

A másodfokú függvények analízise általánosítva

• Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója ($a$) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha $a$ negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.

• Zérushelyek:
  • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
  • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$ képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).

• Paritás:
  • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha $b=0$.
  • A függvény páratlan paritása kizárt.
  • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.

• Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.

• Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az $x$ tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

• Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az $x \in ]a; b[$ nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a $-\infty$; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

• Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

• Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó $\left( x^n\right)'=nx^{n-1}$ deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

• Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

Források

• Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest. ISBN 978 963 2790 114 (2006)