Viète-formulák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg. François Viète (1540–1603) francia matematikusról nevezték el őket, aki először alkalmazott betűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.

Legyen egy n-edfokú polinom és a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggések:

A bizonyítása azon múlik, hogy a polinom felírható gyöktényezős alakban.

Példák[szerkesztés]

Ha egy másodfokú polinom gyökei , akkor felírható gyöktényezős alakban, így a Viète-formulák:

Ugyanezt megkaphatjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletéből is.

Harmadfokú polinom esetén gyöktényezős alakja , ahol a polinom gyökei és a Viète-formulák:

Általánosítása[szerkesztés]

A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.

Források[szerkesztés]