Viète-formulák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Viète-formulák egy polinom gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg. François Viète (1540–1603) francia matematikusról nevezték el őket, aki először alkalmazott betűket az együtthatók jelölésére, így a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket az alábbiakhoz hasonló alakban tudta megadni. Formulái segítségével egyszerűbb a függvényeket ábrázolni, valamint az eredmények is könnyebben ellenőrizhetők.

Legyen P\left( x \right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n} egy n-edfokú polinom és x_{1},x_{2},...,x_{n} a polinom gyökei, akkor az együtthatók és gyökök közötti összefüggések:

\left\{ \begin{align}
 & x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ 
 & x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+...+x_{1}x_{n}+...+x_{n-1}x_{n}=\frac{a_{n-2}}{a_{n}} \\ 
 &             ... \\ 
 & x_{1}x_{2}...x_{k}+x_{1}x_{2}...x_{k-1}x_{k+1}+...+x_{n-k+1}x_{n-k+2}...x_{n}=\left( -1 \right)^{k}\frac{a_{n-k}}{a_{n}} \\ 
 &             ... \\ 
 & x_{1}x_{2}...x_{n}=\left( -1 \right)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}} \\ 
\end{align} \right.

A bizonyítása azon múlik, hogy a P\left( x \right) polinom felírható P\left( x \right)=a_{n}\left( x-x_{1} \right)\cdot \left( x-x_{2} \right)\cdot \left( x-x_{3} \right)...\left( x-x_{n} \right) gyöktényezős alakban.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy másodfokú P\left( x \right)=ax^{2}+bx+c polinom gyökei x_{1},x_{2}, akkor felírható P\left( x \right)=a\left( x-x_{1} \right)\left( x-x_{2} \right) gyöktényezős alakban, így a Viète-formulák:

\left\{ \begin{align}
 & x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ 
 & x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} \\ 
\end{align} \right.

Ugyanezt megkaphatjuk a másodfokú egyenlet x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} megoldóképletéből is.

Harmadfokú P\left( x \right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d polinom esetén gyöktényezős alakja P\left( x \right)=a \left( x-x_{1} \right)\left( x-x_{2} \right)\left( x-x_{3} \right), ahol x_{1,2,3} a polinom gyökei és a Viète-formulák:

\left\{ \begin{align}
 & x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a} \\ 
 & x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a} \\ 
 & x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a} \\ 
\end{align} \right.

Általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Viète-formulák általánosabban is teljesülnek integritási tartományok fölötti polinomokra, amennyiben a főegyüttható invertálható, és a polinomnak ugyanannyi gyöke van, mint amekkora a foka. Az integritási tartomány feltétel ahhoz kell, hogy ne legyen több gyöke, és a gyökei egy skalárszorzó erejéig meghatározza a polinomot. Ha lehetnek többszörös gyökök, akkor a multiplicitásokat is meg kell adni.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]