Algebrai egész szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely gyöke egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is.

Példák[szerkesztés]

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis akkor gyöke az 1 főegyütthatójú polinomnak.

Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az polinomnak.

Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is.

Algebrai egész az aranymetszés arányszáma, mert kielégíti a polinomot.

Ellenpéldák[szerkesztés]

Nem algebrai egész a , hiszen transzcendens szám.

Nem algebrai egész az . Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az gyöke az egész együtthatós polinomnak. Akkor

és így

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tények[szerkesztés]

Ha algebrai egész, akkor szintén algebrai egész. Ha ugyanis kielégíti a 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor kielégíti a 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot.

Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az -re vonatkozóan.

Az előző két állításból következik az is, hogy akkor és csak akkor racionális, ha egy természetes szám -adik hatványa. Speciálisan nem racionális.

Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az nem az.

Források[szerkesztés]

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK