Eisenstein-egész

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és

az „első” harmadik egységgyök.

Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel . Az Eisenstein-egészek így -val jelölt gyűrűt alkotnak.

Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a számtestbe eső algebrai egészek.

Norma[szerkesztés]

Az Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az

normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz mindig teljesül.

Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek[szerkesztés]

Hat Eisenstein-egész normája egy: . Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. Eisenstein-prím és . Ha p közönséges prím és akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és akkor egy alkalmas Eisenstein-prímre. Így például, .

Egyértelmű prímfaktorizáció[szerkesztés]

Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így euklideszi gyűrű: ha , akkor létezik és , hogy és . Innen adódik, hogy -ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy esetén x vagy y asszociáltja -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy esetén vagy teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható alakban, ahol prímelemek, továbbá, ha egy másik felírás, akkor és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re asszociáltja -nek.

Lásd még[szerkesztés]

Forrás[szerkesztés]

Freud-Gyarmati: Számelmélet