Gauss-egész

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a és b egészek (tehát a komplex számsík rácspontjai). Körükben a közönséges egészekhez hasonló számelmélet építhető ki.

Műveletek[szerkesztés]

A Gauss-egészek összeadása egyszerűen koordinátánként történik: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. A szorzásnál felhasználjuk az egyenlőséget: . E műveletek nem vezetnek ki a Gauss-egészek köréből, sőt az is könnyen látható, hogy ezek -vel jelölt gyűrűt alkotnak. E gyűrű nullosztómentes, hányadosteste . A Gauss-egészek e test algebrai egész elemei.

Norma[szerkesztés]

Egy a+bi Gauss-egész normája a nemnegatív egész

N(x)=0 csak x=0-ra teljesül, továbbá a norma multiplikatív: N(xy)=N(x)N(y). Ennélfogva, ha x osztja y-t, akkor N(x) is osztója N(y)-nak.

Egységek, asszociáltak, prímelemek[szerkesztés]

Négy Gauss-egész normája egy: 1,-1,i,-i. Ezek az egységek, tehát azok a Gauss-egészek, amelyek minden Gauss-egész osztói. Ha két Gauss-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük. 1+i Gauss-prím és 2 prímfelbontása . Minden -beli prímszám -ben is prím. Ha viszont prímszám, akkor p felbomlik, mint , ahol (ilyen felbontás a két-négyzetszám-tétel szerint mindig létezik) és az , Gauss-prímek nem asszociáltak. Ezzel megkaptuk valamennyi Gauss-prímet.

A Gauss-egészek körében ugyanúgy, mint az egész számok között, értelmezhető a kongruencia-reláció: akkor teljesül, ha x-y osztható z-vel. Ekkor ha prímelem, akkor a mod maradékosztályok száma .

Egyértelmű prímfaktorizáció[szerkesztés]

A Gauss-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így euklideszi gyűrű: ha , , akkor létezik és , hogy és . Innen adódik, hogy -ben igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy esetén x vagy y asszociáltja -nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Gauss-prímekkel (azon nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy esetén vagy teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható alakban, ahol prímelemek, továbbá, ha egy másik felírás, akkor és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re asszociáltja -nek.

Lásd még[szerkesztés]