Köbös prímek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy köbös prím (cuban prime) olyan prímszám, ami a két következő, x és y természetes számok köbre emelését tartalmazó diofantoszi egyenlet egyikének megoldását adja. Az első ilyen egyenlet:

[1]

és az ebből levezethető első néhány köbös prím:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, ... (A002407 sorozat az OEIS-ben)

Az így előállítható köbös prímek felírhatók így is: , aminek egyszerűbb alakja . Ez pontosan a középpontos hatszögszámok általános alakja; tehát az összes ilyen köbös prím középpontos hatszögszám.

2006-ban a legnagyobb ilyen prímszám 65537 jegyű volt, ahol az .[2] Ezt a számot Jens Kruse Andersen találta meg.

A második ilyen egyenlet::

[3]

Ami egyszerűsíthető alakra. Ha -et helyettesítjük, felírható egyszerűbben, mint .

Az első néhány ilyen köbös prím (A002648 sorozat az OEIS-ben):

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313

Általánosítás[szerkesztés]

Egy általánosított köbös prím a következő formában felírható bármely prímszám:

Valójában ez az összes 3k+1 alakú prímet jelenti.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Cunningham, On quasi-Mersennian numbers
  2. Caldwell, Prime Pages
  3. Cunningham, Binomial Factorisations, Vol. 1, pp. 245-259

Caldwell, Dr. Chris K., ed., The Prime Database: 3*100000845^8192 + 3*100000845^4096 + 1, University of Tennessee at Martin, <http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=76705>. Hozzáférés ideje: June 2, 2012

Cunningham, A. J. C. (1923), Binomial Factorisations, London: F. Hodgson

Cunningham, A. J. C. (1912), On Quasi-Mersennian Numbers, vol. 41, England: Macmillan and Co., pp. 119–146