Hányadostest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritási tartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció[szerkesztés]

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

  1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
  2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a ekvivalens az -tel, mert a és a egyaránt -re egyszerűsödik.
  3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre (például az (1,2)-t tartalmazó ekvivalenciaosztály és a (3,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az (5,4)-et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a (3,8)-at tartalmazó ekvivalenciaosztály.
  4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója[szerkesztés]

Legyen egy integritási tartomány és jelölje az elemeiből alkotott rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy . elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy akkor és csak akkor, ha (az -ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát -vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt -vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

  1. Tetszőleges -re . Az így definiált szorzás egységeleme az ekvivalenciaosztály.
  2. Tetszőleges -re . Az így definiált összeadás nulleleme a ekvivalenciaosztály.
  3. Tetszőleges additív inverze .
  4. Ha , multiplikatív inverze .

Az így konstruált testet hányadostestének nevezzük.

Tulajdonságai[szerkesztés]

tartalmazza izomorf képét ( természetes megfeleltetést ad és ) között. a legszűkebb olyan test, amelybe beágyazható.

(az izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghatározza -t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

és karakterisztikája megegyezik. Ha végtelen, akkor és számossága is megegyezik.

Példák[szerkesztés]

  • Amint feljebb láttuk, ha , akkor .
  • Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Forrás[szerkesztés]

van der Waerden: Algebra, 2 Bde., Springer, 9.Auflage 1993