Hányadostest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az absztrakt algebrában hányadostestnek nevezzük az olyan testet, amelyet egy integritástartomány elemeiből alkotott rendezett párokból képezünk, hasonlóan ahhoz, ahogy a racionális számok testét az egész számok integritási tartományából származtatjuk.

Motiváció[szerkesztés]

A racionális számok teste kézenfekvő módon származtatható az egész számok integritási tartományából a következő eljárással:

  1. A racionális számokból rendezett párokat formálunk, kikötve, hogy e rendezett párok második eleme nem lehet 0. (Ezek megfelelnek a szokásos törtszámoknak.)
  2. Ezután a rendezett párok közül ekvivalensnek nevezzük azokat, amelyek (mint törtszámok) ugyanarra az alakra egyszerűsíthetők. Például a ekvivalens az -tel, mert a és a egyaránt -re egyszerűsödik.
  3. A keletkező ekvivalenciaosztályokon értelmezzük az összeadást és a szorzást úgy, hogy a műveleteket az ekvivalenciaosztályokat reprezentáló elemeken hajtjuk végre. Például az -t tartalmazó ekvivalenciaosztály és a -et tartalmazó ekvivalenciaosztály összege az -et tartalmazó ekvivalenciaosztály, szorzata pedig a -at tartalmazó ekvivalenciaosztály. Hasonló példa, amelyben az egyszerűsítés lehetősége is fellép: , és .
  4. Konstatáljuk, hogy ezek a műveletek jól definiáltak, konzisztens kiterjesztései az egész számokon definiált szorzásnak és összeadásnak, és az így keletkezett struktúra test.

A hányadostest konstrukciója ennek az eljárásnak az általánosítása tetszőleges integritási tartományra.

A hányadostest konstrukciója[szerkesztés]

Legyen egy integritási tartomány és jelölje az elemeiből alkotott rendezett párok halmazát, ahol kikötjük, hogy . elemein definiálunk egy ~ ekvivalenciarelációt: azt mondjuk, hogy akkor és csak akkor, ha (az -ben értelmezett szorzással). Az ekvivalenciaosztályok halmazát -vel, az (a,b)-t tartalmazó ekvivalenciaosztályt -vel jelöljük.

A konstrukció végső lépését az az észrevétel adja, hogy elemei testet alkotnak az alábbi műveletekkel:

  1. Tetszőleges -re . Az így definiált szorzás egységeleme az ekvivalenciaosztály (tetszőleges elemre).
  2. Tetszőleges -re . Az így definiált összeadás nulleleme a ekvivalenciaosztály (tetszőleges elemre).
  3. Tetszőleges additív inverze .
  4. Ha , multiplikatív inverze .

Az így konstruált testet hányadostestének nevezzük.

Vegyük észre, hogy -ben nem feltétlenül van egységelem, de ez nem befolyásolja a konstrukciót. Konkrét példaként ha , a páros számok integritástartománya, akkor a keletkező hányadostest a racionális számok teste, amelyben az egységelem.

Tulajdonságai[szerkesztés]

tartalmazza izomorf képét ( természetes megfeleltetést ad és ) között. a legszűkebb olyan test, amelybe beágyazható.

(az izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghatározza -t. Ennek megfordítása általában nem igaz: egy test előállhat több különböző integritási tartomány hányadostesteként is. (Például a racionális számok teste hányadosteste az egész számoknak is és a páros számoknak is.) Speciálisan minden test hányadosteste saját magának (mint integritástartománynak).

és karakterisztikája megegyezik. Ha végtelen, akkor és számossága is megegyezik, hiszen számosságának alsó korlátja számossága, és felső korlátja az elemeiből képzett rendezett párok halmazának számossága, amely végtelen halmazok esetén megegyezik számosságával.

Példák[szerkesztés]

  • Amint feljebb láttuk, ha , akkor .
  • Egy test feletti polinomgyűrű hányadosteste a racionális törtkifejezések teste.

Általánosítások[szerkesztés]

A hányadostest-konstrukció speciális esete a lokalizációnak: ebben a konstrukcióban a nevezőkben az elemeknek csak egy multiplikatívan zárt részhalmazát engedjük meg. A lokalizáció integritási tartományok helyett bármely kommutatív gyűrűre értelmezhető. Ha az imént említett részhalmaz a gyűrű összes nemzéróosztójából áll, akkor teljes hányadosgyűrűről beszélünk. Speciálisan egy integritási tartomány teljes hányadosgyűrűje a hányadostest.[1]

Jegyzetek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]