Prímhézag

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematika, azon belül a számelmélet területén a prímhézag (prime gap, jelölése a gap-ből gyakran g) két egymást követő prímszám közötti különbséget jelenti. Az n-edik prímhézag, jelölje gn vagy g(pn) az (n + 1)-edik és az n-edik prímszámok közötti különbség:

Így tehát g1 = 1, g2 = g3 = 2, g4 = 4 stb. A prímhézagok (gn) sorozatát átfogóan tanulmányozták, mégis számos nyitott kérdés és sejtés létezik velük kapcsolatban.

Az első 60 prímhézag:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (A001223 sorozat az OEIS-ben).

A gn sorozat definíciójából következik, hogy minden prímszám felírható a következő alakban:

Egyszerű megfigyelések[szerkesztés]

Az első, legkisebb, és egyetlen páratlan prímhézag (1) az egyetlen páros prímszám (2) és az első páratlan prímszám (3) között van. Az összes többi prímhézag páros. Egyetlen olyan prímhézag-páros van, ami maga is prímszámokból áll, a g2 és g3 a 3, 5 és 7 között.

Bármely P prímszám esetén P#-tel jelöljük P primoriálisát, tehát az összes prímszám szorzatát P-ig bezárólag, P-t is beleértve. Ha Q a P-t közvetlenül követő prímszám, akkor a következő sorozat:

Q − 2 egymást követő egész számot tartalmaz, tehát itt a prímhézag legalább Q − 1 hosszúságú. Ebből következik, hogy tetszőlegesen nagy prímhézagok léteznek, így tehát bármely P prímszámhoz tartozik olyan n egész szám, ahol gnP. (Belátható, ha n-et úgy választjuk meg, hogy pn a legnagyobb prímszám, ami kisebb P# + 2-nél.) A tetszőlegesen nagy prímhézagok létezése a prímszámtételből kiindulva is belátható, mi szerint a prímszámok sűrűsége közelít a nullához. A tétel szerint P# igen durva közelítésben exp(P) nagyságú, exp(P) környezetében pedig az egymást követő prímszámok közötti átlagos távolság P.

A gyakorlatban a P méretű prímrések a P#-nál jóval előbb jelentkeznek. Például a 71 egymást követő összetett számból álló szekvencia először 31398 és 31468 között jelentkezik, míg a 71# huszonhét számjegyből áll – tízes számrendszerben 557940830126698960967415390.

Bár a prímszámok közti átlagos hézag nagysága a számok természetes logaritmusa szerint növekszik, a maximális prímhézag és a benne foglalt egészek közötti arány szintén nő, ahogy egyre nagyobb számok és prímhézagok fordulnak elő.

Az ellenkező irányt tekintve, az ikerprímsejtés szerint gn = 2 végtelen sok n helyen.

Numerikus eredmények[szerkesztés]

2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható valószínű prím végekkel 5 103 138 hosszúságú, a hozzá tartozó 216849 jegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta, ennek a jósága M=10,2203.[1] A legnagyobb ismert prímhézag, aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók, 1 113 106 hosszúságú, a szélein lévő 18662 jegyű prímszámokat P. Cami, M. Jansen és J. K. Andersen találták meg.[2][3]

Nevezzük gn-t maximális prímhézagnak, ha gm < gn minden m < n esetben. 2016 júniusában a legnagyobb ismert maximális prímhézag 1476 hosszúságú, Tomás Oliveira e Silva találta meg. Ez sorrendben a 75. maximális hézag, és az 1425172824437699411 prímszám után következik.[4] További maximális prímhézag-rekordok találhatók itt: OEISA002386.

Egy prímhézag jóságán (merit) a gn / ln(pn) arány értendő. 1931-ben E. Westzynthius bebizonyította, hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek. Tehát,[5]

Legnagyobb ismert jóság-értékek (2016-11)[6][7][8]
Jóság gn számjegyek pn Dátum Felfedező
36,858288 10716 127 7910896513·283#/30 − 6480 2016 Dana Jacobsen
36,590183 13692 163 1037600971·383#/210 − 8776 2016 Dana Jacobsen
36,420568 26892 321 59740589·757#/210 − 14302 2016 Dana Jacobsen
35,424459 66520 816 1931·1933#/7230 − 30244 2012 Michiel Jansen
35,310308 1476 19 1425172824437699411 2009 Tomás Oliveira e Silva
34,975687 1442 18 804212830686677669 2005 Siegfried Herzog

2016. novemberi adat szerint a legnagyobb ismert jósági érték 10716 / ln(7910896513·283#/30 −&nbsp6480) ≈ 36,858288 (283# 283 primoriálisát jelöli). A végpontok 127 jegyű prímek.

A Cramér–Shanks–Granville-arány a következő szám:[6]

Az arány legnagyobb ismert értéke 0,9206386, ami az 1693182318746371 prímszámhoz tartozik. Megoszlanak a vélemények, hogy az arány eléri-e az egyet; további rekordértékek itt találhatók: OEISA111943.

Az első 75 maximális prímhézag (n értéke nem szerepel)
1 – 25
# gn pn
1 1 2
2 2 3
3 4 7
4 6 23
5 8 89
6 14 113
7 18 523
8 20 887
9 22 1129
10 34 1327
11 36 9551
12 44 15 683
13 52 19 609
14 72 31 397
15 86 155 921
16 96 360 653
17 112 370 261
18 114 492 113
19 118 1 349 533
20 132 1 357 201
21 148 2 010 733
22 154 4 652 353
23 180 17 051 707
24 210 20 831 323
25 220 47 326 693
26 – 50
# gn pn
26 222 122 164 747
27 234 189 695 659
28 248 191 912 783
29 250 387 096 133
30 282 436 273 009
31 288 1 294 268 491
32 292 1 453 168 141
33 320 2 300 942 549
34 336 3 842 610 773
35 354 4 302 407 359
36 382 10 726 904 659
37 384 20 678 048 297
38 394 22 367 084 959
39 456 25 056 082 087
40 464 42 652 618 343
41 468 127 976 334 671
42 474 182 226 896 239
43 486 241 160 624 143
44 490 297 501 075 799
45 500 303 371 455 241
46 514 304 599 508 537
47 516 416 608 695 821
48 532 461 690 510 011
49 534 614 487 453 523
50 540 738 832 927 927
51 – 75
# gn pn
51 582 1 346 294 310 749
52 588 1 408 695 493 609
53 602 1 968 188 556 461
54 652 2 614 941 710 599
55 674 7 177 162 611 713
56 716 13 829 048 559 701
57 766 19 581 334 192 423
58 778 42 842 283 925 351
59 804 90 874 329 411 493
60 806 171 231 342 420 521
61 906 218 209 405 436 543
62 916 1 189 459 969 825 483
63 924 1 686 994 940 955 803
64 1132 1 693 182 318 746 371
65 1184 43 841 547 845 541 059
66 1198 55 350 776 431 903 243
67 1220 80 873 624 627 234 849
68 1224 203 986 478 517 455 989
69 1248 218 034 721 194 214 273
70 1272 305 405 826 521 087 869
71 1328 352 521 223 451 364 323
72 1356 401 429 925 999 153 707
73 1370 418 032 645 936 712 127
74 1442 804 212 830 686 677 669
75 1476 1 425 172 824 437 699 411

További eredmények[szerkesztés]

Felső korlátok[szerkesztés]

Az 1852-ben bizonyított Bertrand-posztulátum kimondja, hogy k és 2k között mindig létezik prímszám, így tehát pn+1 < 2pn, amiből következik, hogy gn < pn.

Az 1896-ban bizonyított prímszámtétel szerint egy p prímszám és a rákövetkező prímszám közötti hézag átlagos nagysága ln(p). Egy konkrét hézag tényleges mérete persze ennél jóval nagyobb vagy kisebb is lehet. A prímszámtételből azonban következik egy felső korlát is: minden ε > 0-hoz létezik N szám, amire gn < εpn minden n > N esetben.

Kikövetkeztethető, hogy a prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek, tetszőlegesen kicsik: a hányados nullához tart:

Hoheisel (1930) mutatta meg elsőként,[9] hogy létezik egy θ < 1 konstans, amire

így tehát:

elegendően nagy n-ekre.

Hoheisel a θ értékét 32999/33000-ra tette. Ezt Heilbronn 249/250-re javította,[10] majd Chudakov θ = 3/4 + ε-re, bármilyen ε > 0-ra.[11]

Ingham nevéhez fűződik egy nagyobb előrelépés,[12] aki megmutatta, hogy ha

valamely pozitív c konstansra, ahol az O az O jelölésre utal, akkor

bármely θ > (1 + 4c)/(2 + 4c)-re. Itt a szokásos módon ζ a Riemann-féle zéta-függvény, π pedig a prímszámláló függvény. Tudva, hogy bármely c > 1/6 elfogadható, megállapítható, hogy θ bármely ⅝-nál nagyobb szám lehet.

Ingham eredményének közvetlen következménye, hogy n3 és (n + 1)3 között mindig van prímszám, ha n elegendően nagy.[13] A Lindelöf-sejtés implikálná, hogy Ingham képlete bármilyen pozitív c számra igaz, de még ez sem lenne elég annak igazolására, hogy elegendően nagy n-re mindig van prímszám n2 és (n + 1)2 között (lásd Legendre-sejtés). Ennek igazolására erősebb eredményre, például a Cramér-sejtésre volna szükség.

Huxley 1972-ben megmutatta, hogy θ választható például θ = 7/12 = 0,58(3)-ra is.[14]

Baker, Harman és Pintz 2001-es eredménye szerint θ levihető akár 0,525-ig.[15]

2005-ben Daniel Goldston, Pintz János és Cem Yıldırım bebizonyították, hogy

,

majd két évvel később a következőre javították az eredményt:[16]

2013-ban Yitang Zhang igazolta, hogy

ami azt jelenti, hogy végtelen sok 70 milliónál nem nagyobb prímhézag létezik.[17] A Polymath Project keretében végzett együttműködés keretében sikerült Zhang korlátját optimalizálni, 2013. július 20-ára egészen 4680-ig vitték le.[18] 2013 novemberében, James Maynard bemutatta a GPY-szita egy új finomítását, amivel a korlátot 600-ig vitte le, továbbá megmutatta, hogy bármely m-re létezik m prímszámot tartalmazó korlátos intervallum:[19]

Maynard gondolatait továbbfejlesztve a Polymath project azóta feljavította a korlátot 246-ra.[18][20] Továbbá, feltételezve az Elliott–Halberstam-sejtés és annak általánosított formájának igazságát, a Polymath project wiki állítása szerint N-et 12-re, illetve 6-ra sikerült lecsökkenteni.[18]

Alsó korlátok[szerkesztés]

1938-ban Robert Rankin bebizonyította, hogy létezik olyan c > 0 konstans, amire a

egyenlőtlenség végtelen sok n értékre igaz lesz, továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius és Erdős Pál eredményeit. Később megmutatta, hogy bármely c < eγ konstans jó lehet, ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó. A c konstans értékét 1997-ben javították bármely 2eγ-nál kisebb értékre.[21]

Erdős Pál 10 000 dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért, hogy a fenti egyenlőtlenség c konstansát bármilyen nagyra lehet választani.[22] Ezt 2014-ben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek, és tőlük függetlenül James Maynardnak.[23][24]

Az eredményt Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao tovább javította a következőre:

n végtelen sok értékére.[25]

Prímhézagok láncolatára szintén sikerült alsó korlátokat megállapítani.[26]

Prímhézagokkal kapcsolatos sejtések[szerkesztés]

Prímhézagfüggvény

Még jobb eredmények érhetők el, ha a Riemann-sejtést igaznak feltételezzük. Harald Cramér igazolta,[27] hogy a Riemann-sejtésből következik, hogy a gn prímhézagra teljesül, hogy

a nagy O jelölést használva. Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek. A Cramér-sejtés durván azt fogalmazza meg, hogy

A Firoozbakht-sejtés kimondja, hogy (ahol az n-edik prím) n szerint szigorúan csökkenő függvény, tehát

Ha ez a sejtés igaz, akkor a függvény teljesíti a [28] Következne belőle a Cramér-sejtés egy erős formája, de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal,[29][30][31] melyek szerint végtelen sokszor bármely -ra, ahol az Euler–Mascheroni-állandót jelöli.

Oppermann sejtése gyengébb, mint a Cramér-sejtés. Az Oppermann-sejtéssel becsült prímhézag mérete nagyságrendileg:

Ha ez igaz, akkor létezik egy m>0 (valószínűleg m=30) természetes szám, amire minden n>m-re teljesül, hogy

Az Andrica-sejtés, ami Oppermann sejtésének gyengébb változata, kimondja, hogy[32]

Ez enyhén erősebb a Legendre-sejtésnél, ami szerint az egymást követő négyzetszámok között mindig található prímszám.

Számelméleti függvényként[szerkesztés]

Az n-edik és (n + 1)-edik prímszámok közötti gn prímhézag a számelméleti függvények egy példája. Ebben a kontextusban szokásosan dn-nel jelölik (magyar kontextusban ez a jelölés általában az osztószám-függvényt illeti), neve pedig prímkülönbség-függvény (prime difference function).[32] A függvény se nem multiplikatív, se nem additív.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime gap című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. http://trnicely.net/index.html#TPG
  2. Forráshivatkozás-hiba: Érvénytelen <ref> tag; nincs megadva szöveg a(z) top20 nevű ref-eknek
  3. A proven prime gap of 1113106
  4. Maximal Prime Gaps
  5. Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors 5: 1–37.
  6. a b NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
  7. Dynamic prime gap statistics
  8. TABLES OF PRIME GAPS
  9. Hoheisel, G. (1930). „Primzahlprobleme in der Analysis”. Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33, 3–11. o.  
  10. Heilbronn, H. A. (1933). „Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel”. Mathematische Zeitschrift 36 (1), 394–423. o. DOI:10.1007/BF01188631.  
  11. Tchudakoff, N. G. (1936). „On the difference between two neighboring prime numbers”. Math. Sb. 1, 799–814. o.  
  12. Ingham, A. E. (1937). „On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics 8 (1), 255–266. o. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.  
  13. Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). „Explicit estimate on primes between consecutive cubes”. Rocky Mt. J. Math. 40, 117–153. o. DOI:10.1216/rmj-2010-40-1-117.  
  14. Huxley, M. N. (1972). „On the Difference between Consecutive Primes”. Inventiones Mathematicae 15 (2), 164–170. o. DOI:10.1007/BF01418933.  
  15. Baker, R. C. (2001). „The difference between consecutive primes, II”. Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3), 532–562. o. DOI:10.1112/plms/83.3.532.  
  16. Primes in Tuples II. ArXiv. (Hozzáférés: 2013. november 23.)
  17. Zhang, Yitang (2014). „Bounded gaps between primes”. Annals of Mathematics 179 (3), 1121–1174. o. DOI:10.4007/annals.2014.179.3.7.  
  18. a b c Bounded gaps between primes. Polymath. (Hozzáférés: 2013. július 21.)
  19. Maynard, James (2015). „Small gaps between primes”. Annals of Mathematics 181 (1), 383–413. o. DOI:10.4007/annals.2015.181.1.7.  
  20. D.H.J. Polymath (2014). „Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. Research in the Mathematical Sciences 1. DOI:10.1186/s40687-014-0012-7.  
  21. Pintz, J. (1997). „Very large gaps between consecutive primes”. J. Number Theory 63 (2), 286–301. o. DOI:10.1006/jnth.1997.2081.  
  22. Erdős, Some of my favourite unsolved problems
  23. (2016) „Large gaps between consecutive prime numbers”. Ann. of Math. 183 (3), 935–974. o. DOI:10.4007/annals.2016.183.3.4.  
  24. Maynard, James (2016). „Large gaps between primes”. Ann. of Math. 183 (3), 915–933. o. DOI:10.4007/annals.2016.183.3.3.  
  25. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2015). "Long gaps between primes".
  26. Ford, Kevin; Maynard, James; Tao, Terence (2015-10-13). "Chains of large gaps between primes".
  27. Cramér, Harald (1936), "On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers", Acta Arithmetica 2: 23–46, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf>
  28. Sinha, Nilotpal Kanti (2010), On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture, pp. 1–10, <http://arxiv.org/abs/1010.1399>.
  29. Granville, A. (1995), "Harald Cramér and the distribution of prime numbers", Scandinavian Actuarial Journal 1: 12–28, <http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf>.
  30. Granville, Andrew (1995), "Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers", Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1: 388–399, <http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf>.
  31. Pintz, János (2007), "Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes", Funct. Approx. Comment. Math. 37 (2): 232–471, <http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660>
  32. a b Guy (2004) §A8

Irodalom[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]