Prímszámláló függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika, azon belül az analitikus számelmélet területén a prímszámláló függvény (prime-counting function) az a számelméleti függvény, ami az x valós számnál nem nagyobb prímszámok számát adja meg.[1][2] Jelölése π(x) (nincs közvetlen köze a pí számhoz).

π(n) értékei az első 60 egész számra

Története[szerkesztés]

A számelmélet kutatóinak érdeklődésére régóta számot tart a prímszámláló függvény növekedési rátája.[3][4] A 18. század végén Gauss és Legendre megsejtette, hogy értéke kb.

abban az értelemben, hogy

Ezt az állítást ma prímszámtételként ismerjük. Ezzel ekvivalens állítás, hogy

ahol li a logaritmikus integrál függvény. A prímszámtételt 1896-ban egymástól függetlenül Jacques Hadamard és Charles de la Vallée Poussin is bebizonyította, a Riemann által 1859-ben bevezetett Riemann-féle zéta-függvény tulajdonságainak felhasználásával.

Azokban a nagyságrendekben, amelyekben a számelmélet általában vizsgálódik (tehát amikor nem kezelhetetlenül nagy), nagyobb, mint , de végtelen sokszor igaz ennek az ellenkezője is. Ennek tárgyalását lásd a Skewes-féle szám szócikkben.

A prímszámtétel olyan bizonyítását, ami nem használta sem a zéta-függvényt, sem a komplex analízis eszköztárát 1948-ban adta Atle Selberg és Erdős Pál (nagyrészt egymástól függetlenül).[5]

Táblázat π(x), x / ln x és li(x) értékeivel[szerkesztés]

A táblázat a három függvény, π(x), x / ln x és li(x) értékeit mutatja meg 10 különböző hatványainál. Lásd még[3][6][7] és[8]

x π(x) π(x) − x / ln x li(x) − π(x) x / π(x)
10 4 −0,3 2,2 2,500
102 25 3,3 5,1 4,000
103 168 23 10 5,952
104 1 229 143 17 8,137
105 9 592 906 38 10,425
106 78 498 6 116 130 12,740
107 664 579 44 158 339 15,047
108 5 761 455 332 774 754 17,357
109 50 847 534 2 592 592 1 701 19,667
1010 455 052 511 20 758 029 3 104 21,975
1011 4 118 054 813 169 923 159 11 588 24,283
1012 37 607 912 018 1 416 705 193 38 263 26,590
1013 346 065 536 839 11 992 858 452 108 971 28,896
1014 3 204 941 750 802 102 838 308 636 314 890 31,202
1015 29 844 570 422 669 891 604 962 452 1 052 619 33,507
1016 279 238 341 033 925 7 804 289 844 393 3 214 632 35,812
1017 2 623 557 157 654 233 68 883 734 693 281 7 956 589 38,116
1018 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536 21 949 555 40,420
1019 234 057 667 276 344 607 5 481 624 169 369 960 99 877 775 42,725
1020 2 220 819 602 560 918 840 49 347 193 044 659 701 222 744 644 45,028
1021 21 127 269 486 018 731 928 446 579 871 578 168 707 597 394 254 47,332
1022 201 467 286 689 315 906 290 4 060 704 006 019 620 994 1 932 355 208 49,636
1023 1 925 320 391 606 803 968 923 37 083 513 766 578 631 309 7 250 186 216 51,939
1024 18 435 599 767 349 200 867 866 339 996 354 713 708 049 069 17 146 907 278 54,243
1025 176 846 309 399 143 769 411 680 3 128 516 637 843 038 351 228 55 160 980 939 56,546
1026 1 699 246 750 872 437 141 327 603 28 883 358 936 853 188 823 261 155 891 678 121 58,850
A grafikon a π(x) prímszámláló függvény két közelítéséhez, az x/ln x-hez és a Li(x)-hez való arányát mutatja. Az x növekedésével (vegyük észre, hogy az x tengely logaritmikus beosztású), mindkét arány 1-hez tart. Az x/ln x felülről konvergál, viszonylag lassan, míg az Li(x) alulról, gyorsabban.

Az On-Line Encyclopedia of Integer Sequences között a π(x) oszlop megtalálható OEISA006880, a π(x) − x / ln x oszlop a OEISA057835 és a li(x) − π(x) oszlop pedig a OEISA057752 sorozatnál.

A π(1024)-nél szereplő értéket először J. Buethe, J. Franke, A. Jost és T. Kleinjung számolta ki a Riemann-sejtés igazát feltételezve.[9] Ezt a számítást később a feltétel nélkül is elvégezte D. J. Platt.[10] A π(1025) értéket J. Buethe, J. Franke, A. Jost és T. Kleinjung,[11] a π(1026) értéket pedig D. B. Staple számolta ki.[12] A táblázat többi értékét a fenti munka során ellenőrizték.

Algoritmusok a π(x) értékének meghatározására[szerkesztés]

Triviális módja meghatározásának, ha nem túl nagy, hogy meghatározzuk az -nél nem nagyobb prímeket (akár Eratoszthenész szitájával), majd megszámoljuk őket.

Legendre kifinomultabb módszert talált kiszámolására: adott -re, ha különböző prímszámok, akkor az olyan egészek száma, melyek nem nagyobbak -nél és nem oszthatók egyetlen -vel sem, éppen

(ahol az alsó egészrész függvényt jelöli). A szám tehát egyenlő a következővel:

ahol a számok az négyzetgyökénél nem nagyobb prímszámok.

1870 és 1885 között megjelent cikksorozatában Ernst Meissel bemutatott egy praktikus kombinatorikai módszert kiszámolására. Legyen az első prímszám, jelölje az -nél nem nagyobb természetes számokat, melyek nem oszthatók egyik -vel sem. Ekkor

Adott természetes számra, ha és , akkor

Ezt a megközelítést használva Meissel kiszámította -et az egyenlő 5·105, 106, 107 és 108 értékekre.

1959-ben Derrick Henry Lehmer kiterjesztette és egyszerűsítette Meissel módszerét. Az valós számra és az és természetes számokra definiáljuk -et úgy, hogy az m-nél nem nagyobb, de pontosan k darab, -nél nagyobb prímtényezővel rendelkező számok számát adja. Továbbá, legyen . Ekkor

ahol valójában csak véges számú nem nulla tagot összegzünk. Jelöljön olyan egész számot, amire igaz, hogy , és -et állítsuk értékre. Ekkor és , ha  ≥ 3. Emiatt

A értéke így számítható:

Másrészről, a kiszámítása elvégezhető a következő szabályok alapján:

Ezzel a módszerrel és egy IBM 701 elektroncsöves számítógéppel Lehmer képes volt kiszámítani értékét.

A módszert a későbbiekben Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise és Rivat tökéletesítették.[13]

Más prímszámláló függvények[szerkesztés]

Definiáltak más prímszámláló függvényeket is, melyekkel bizonyos feladatok kényelmesebben elvégezhetők. Az egyik ilyen a Riemann-féle prímszámláló függvény, aminek jelölése vagy . Ez a függvény a pn prímhatványoknál 1/n ugrásokat végez, a nem prímhatvány helyeken pedig a két szélső prímhatvány átlagát veszi fel. Ennek az az értelme, hogy a függvény értéke meghatározható egy inverz Mellin-transzformációval. Szabatosan a így definiálható:

ahol p prímszám.

Így is felírható:

ahol Λ(n) a von Mangoldt-függvény és

A Möbius-féle megfordítási formula ekkor kiadja, hogy:

A Riemann-féle zéta-függvény logaritmusának és a von Mangoldt-függvény ismeretében, a Perron-képlet felhasználásával:

A Csebisev-függvények a prímeket vagy pn prímhatványokat ln(p)-vel súlyozva összegeznek:

Prímszámláló függvények képletei[szerkesztés]

A prímszámláló függvényképletek kétfajták lehetnek: számelméleti és analitikus formulák. Az analitikus prímszámlálási képleteket először a prímszámtétel bizonyítására használták. Riemann és von Mangoldt munkásságából erednek, és általában explicit formuláknak nevezik őket.[14]

Van tehát a következő képletünk ψ-re:

ahol

Itt ρ a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyei a kritikus sávban, ahol a ρ valós része 0 és 1 közé esik. A képlet érvényes az x>1 értékekre, ami az érdekes terület. A gyökök összege feltételesen konvergens, és a képzetes rész növekvő abszolút értékének sorrendjében kell elvégezni az összegzést. Vegyük észre, hogy ugyanez az összeg a triviális gyökökön elvégezve a képlet utolsó kivonandóját adja.

A -re bonyolultabb képletünk van:

Itt is az látható, hogy a képlet érvényes x > 1-re, ahol ρ a zéta-függvény nem triviális zérushelyei abszolút értékeik szerint rendezve, a második integrál, negatív előjellel, pedig ugyanaz az összeg, csak a triviális zérushelyeken. Az első tag li(x)-e a szokásos logaritmikus integrálfüggvény; a második tag li(xρ) kifejezését úgy kell érteni, mint Ei(ρ ln x), ahol Ei a pozitív valós számokon értelmezett exponenciális integrál függvény analitikus folytatása a komplex síkra, a negatív valós számok tengelyén.

Így a Möbius-féle megfordítási formula kiadja, hogy[15]

ami x > 1-re van értelmezve, és ahol

az úgynevezett Riemann-féle R-függvény.[16] Ez utóbbi sort Gram-sornak nevezik [17] és minden pozitív x-re konvergens.

Δ-függvény (pirossal) logaritmikus léptékben

A képletében a nem triviális zérushelyek összege fluktuációit írja le, a maradék tagok pedig a prímszámláló függvény „sima” részét alkotják,[18] így használható a

képlet a legjobb becsléseként az x > 1 értékekre.

A „zajos” rész amplitúdója heurisztikusan körül van, így a prímszámok eloszlásának fluktuációi megjeleníthetők a Δ-függvény segítségével:

A Δ(x) különböző helyeken vett értéket tartalmazó táblázat elérhető.[7]

Egyenlőtlenségek[szerkesztés]

Néhány hasznos egyenlőtlenség π(x)-szel kapcsolatban.

ha x ≥ 17.[19]

A bal oldali egyenlőtlenség minden x ≥ 17-re, a jobb oldali egyenlőtlenség minden x > 1-re teljesül.

Az 1,25506 konstans magyarázata itt olvasható: (A209883 sorozat az OEIS-ben).

Pierre Dusart igazolta 2010-ben, hogy:

, ha és
, ha .[20]

Néhány az n-edik prímszámra, pn-re vonatkozó egyenlőtlenség.[21]

ha n ≥ 6.

A bal oldali egyenlőtlenség minden n ≥ 1-re, a jobb oldali minden n ≥ 6-ra teljesül.

Az n-edik prímszám közelítő értéke:

Jól ismert jegyzetfüzetében Rámánudzsan[22] bizonyítja, hogy a

egyenlőtlenség teljesül elegendően nagy értékeire.

A Riemann-sejtés[szerkesztés]

A Riemann-sejtés megfelel a -re való becslés sokkal szigorúbb hibakorlátjának, és így a prímszámok szabályosabb eloszlásának:

Specifikusan,[23]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Bach, Eric. Algorithmic Number Theory. MIT Press, volume 1 page 234 section 8.8. o (1996). ISBN 0-262-02405-5 
  2. Weisstein, Eric W.: Prime Counting Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  3. ^ a b How many primes are there?. Chris K. Caldwell. (Hozzáférés: 2008. december 2.)
  4. Dickson, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications (2005). ISBN 0-486-44232-2 
  5. Ireland, Kenneth. A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second, Springer (1998). ISBN 0-387-97329-X 
  6. Tables of values of pi(x) and of pi2(x). Tomás Oliveira e Silva. (Hozzáférés: 2008. szeptember 14.)
  7. ^ a b Values of π(x) and Δ(x) for various x's. Andrey V. Kulsha. (Hozzáférés: 2008. szeptember 14.)
  8. A table of values of pi(x). Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. (Hozzáférés: 2008. szeptember 14.)
  9. Conditional Calculation of pi(1024). Chris K. Caldwell. (Hozzáférés: 2010. augusztus 3.)
  10. Computing π(x) Analytically). (Hozzáférés: 2012. július 25.)
  11. How Many Primes Are There?. J. Buethe. (Hozzáférés: 2015. szeptember 1.)
  12. The combinatorial algorithm for computing pi(x). Dalhousie University. (Hozzáférés: 2015. szeptember 1.)
  13. Computing π(x): The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method. Marc Deléglise and Jöel Rivat, Mathematics of Computation, vol. 65, number 33, January 1996, pages 235–245. (Hozzáférés: 2008. szeptember 14.)
  14. Titchmarsh, E.C.. The Theory of Functions, 2nd ed.. Oxford University Press (1960) 
  15. (1970) „Some calculations related to Riemann's prime number formula”. Mathematics of Computation 24 (112), 969–983. o, Kiadó: American Mathematical Society. DOI:10.2307/2004630. ISSN 0025-5718.  
  16. Weisstein, Eric W.: Riemann Prime Counting Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  17. Weisstein, Eric W.: Gram Series (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  18. The encoding of the prime distribution by the zeta zeros. Matthew Watkins. (Hozzáférés: 2008. szeptember 14.)
  19. Rosser, J. Barkley (1962). „Approximate formulas for some functions of prime numbers”. Illinois J. Math. 6, 64–94. o. ISSN 0019-2082.  
  20. Dusart, Pierre: Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.. arxiv.org. (Hozzáférés: 2014. április 22.)
  21. Inequalities for the n-th prime number at function.wolfram, <http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/Prime/29/0002/>. Hozzáférés ideje: March 22, 2013
  22. Berndt, Bruce C.. Ramanujan’s Notebooks (en nyelven). Springer Science & Business Media (2012. december 6.). ISBN 9781461209652 
  23. (1976) „Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II”. Mathematics of Computation 30 (134), 337–360. o, Kiadó: American Mathematical Society. DOI:10.2307/2005976. ISSN 0025-5718.  

További információk[szerkesztés]