Riemann-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Riemann-sejtés, amelyet először Bernhard Riemann fogalmazott meg 1859-ben, egyetlen számelméleti tárgyú dolgozatában, a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeinek eloszlásával foglalkozik (és így a prímszámok lehető legegyenletesebb eloszlását állítja). Sokan (így például Erdős Pál is), az egész matematika legfontosabb problémájának, koronagyémántjának tartják. Egyike a Hilbert-problémáknak, és az egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak is. A legtöbb matematikus igaznak tartja, bár például John Edensor Littlewood és Atle Selberg hangoztatott kétségeket.

A Riemann-féle zéta-függvény ζ(s) egyváltozós, komplex számokon értelmezett függvény, értelmezési tartománya a teljes komplex számsík, az s = 1 eset kivételével. Ha s>1 valós szám, akkor a konvergens


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

sor állítja elő, ez még akkor is konvergens, ha s komplex, de valós része 1-nél nagyobb. Így például az ismert Euler-féle formula miatt ζ(2)=π2/6. Ha s valós része nem 1-nél nagyobb, akkor analitikus folytatással kapjuk a függvény értékeit.

Vannak úgynevezett triviális gyökhelyei a negatív páros számokban, azaz az s = −2, s = −4, s = −6, … értékeknél. A Riemann-sejtés a nem triviális esetekkel foglalkozik, és kimondja:

A Riemann-féle ζ-függvény minden nem triviális gyökének a valós része 1/2.

Tehát a nemtriviális gyökök az 1/2 + it alakú számokból álló úgynevezett kritikus egyenesen vannak, ahol t valós szám és i a képzetes egység.

Ekvivalens állítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számos, ártatlannak tűnő állítás valójában ekvivalens a Riemann-hipotézissel, például:

1. minden n\geq 100 természetes számra teljesül

|\log([1,2,\dots,n])-n|\leq\sqrt{n}\left(\log n\right)^2

ahol [1,2,\dots,n] az első n szám legkisebb közös többszörösét jelöli.

2. Robin tétele: Guy Robin 1984-ben bizonyította, hogy a következő állítás:

 \sigma(n)<e^\gamma n\log \log n minden n > 5040-re;

ahol σ(n) az osztóösszeg-függvény és γ az Euler-konstans; szintén ekvivalens a Riemann-sejtéssel.[1]

3. Lagarias tétele: 2002-ben Jeffrey Lagarias megmutatta, hogy a Riemann-sejtés ekvivalens a σ(n) osztóösszeg-függvényre vonatkozó következő felső becsléssel:

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

minden n természetes számra, ahol Hn a harmonikus sorozat (H_{n} \ := \ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}).[2]

A Riemann-féle zéta-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-féle zéta-függvény a komplex síkon, \textrm{Re}(s) vízszintesen és \textrm{Im}(s) függőlegesen. A \textrm{Re}(s)=½ gyököket egy fehér pontsor jelöli.

A Riemann-féle zéta-függvény egy komplex értékű függvény. Definíciója a komplex sík \operatorname{Re}(s) > 1 tartományán a következő:


  \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \frac1{4^s} + \cdots

ahol s a komplex szám. Ezt a függvényt kiterjesztik a komplex síkra, kivéve az egyet, ahol pólusa van.

Fontos tulajdonsága, hogy kapcsolódik a prímszámokhoz, továbbá összekapcsolja a komplex függvénytant a számelmélettel, és rá alapul a Riemann-sejtés. Mindezek miatt a sejtésnek számos következménye van a számelmélet különböző területein. Leonhard Euler 1748-ban ezzel az összefüggéssel mutatta meg a kapcsolatot:


   \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}= \prod_{p\ \text{prim}} \frac{1}{1-\frac1{p^s}}
   = \frac1{\left(1-\frac1{2^s}\right) \left(1-\frac1{3^s}\right)\left(1-\frac1{5^s}\right)
   \cdots}

ahol a  \Pi_p végtelen szorzat befutja a prímszámokat. Ez az összefüggés a számelmélet alaptételének és a mértani sor összegképletének közvetlen következménye.

Ezzel a képlettel a Riemann-féle zéta-függvény a teljes komplex síkra kiterjeszthető, kivéve az s = 1 egyszeres pólust, tehát meromorf függvényt kapunk.

\zeta (s)=\frac{1}{\Gamma (s)} \left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\sum\limits_{n =2}^\infty
\frac{B_n}{n !}\frac{1}{s+n-1}+\int\limits_1^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \mathrm dx \right),

ahol \Gamma a teljes gammafüggvény, és B_n a Bernoulli-számok. Az első néhány Bernoulli-szám: B_0=1,\; B_1=-1/2,\; B_2=1/6,\; B_3=0, \dots

Jelentősége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fájl:Zeta-Kritisch.png
A zéta-függvény abszolútértéke a Re(s) = 1/2 kritikus egyenesen
A zéta-függvény értékei a Re(s) = 1/2 kritikus egyenesen

Kapcsolat a prímszámokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Már Riemann is felismerte a zéta-függvény és a prímszámok közötti kapcsolatot. Cikkében analitikus kifejezést keresett a prímszámláló függvényre. A kapcsolathoz a következő képletből indult ki:

 \zeta(s) = \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}},

Ennek logaritmusát véve:

 \log \zeta(s) = \sum_{p \ \mathrm{prim}} \sum_{n=1}^\infty \frac{p^{-ns}}{n}

Végül az

 p^{-ns} = s\int \limits_{p^n}^\infty x^{-s-1} \mathrm{d}x

integrállal sikerült Riemann-nak a zéta-függvény logaritmusát analitikusan kifejeznie. Ehhez

 \Pi(x) = \sum_{p^n < x} \frac{1}{n}

ami minden x-nél kisebb prímhatványra összegzi az  1/n -t. Például,

 \Pi(20) = \underbrace{\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right)}_{2^1, 2^2, 2^3, 2^4 < 20} + \underbrace{\left(1 + \frac{1}{2} \right)}_{3^1, 3^2 < 20} + \underbrace{(1)}_{5^1 < 20} + \underbrace{(1)}_{7^1 < 20} + \underbrace{(1)}_{11^1 < 20} + \underbrace{(1)}_{13^1 < 20} + \underbrace{(1)}_{17^1 < 20} + \underbrace{(1)}_{19^1 < 20} = \frac{115}{12}

Ez egy lépcsős függvény. Így  \log \zeta(s) integrálképlete:

 \log \zeta(s) = \sum_{p \ \mathrm{prim}} \sum_{n=1}^\infty \frac{p^{-ns}}{n} = s \sum_{p \ \mathrm{prim}} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \int \limits_{p^n}^\infty x^{-s-1} \mathrm{d}x = s\int \limits_0^\infty x^{-s-1} \Pi(x) \mathrm{d}x.

A Fourier-analízis mestereként Riemann inverz Mellin-transzformációval a következőre jutott:

 \Pi(x) = \frac{1}{2\pi i} \int \limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\log \zeta(s)}{s} x^s \mathrm{d}s

ahol c > 1. A továbbiakban a kszí-függvénnyel kezdett el foglalkozni:

 \xi(s) = \frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma\left( \frac{s}{2} \right) \zeta(s)

Innen már egyszerű volt a második nem triviális kifejezést megkapnia \log \zeta(s) -re:

 \log \zeta(s) = \sum_{\rho} \log \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) - \log 2 - \log \Gamma\left(1 + \frac{s}{2}\right) + \frac{s}{2} \log \pi - \log(s-1).

A továbbiakban ezt behelyettesítette  \log \zeta(s) helyére:

 \Pi(x) = \frac{1}{2\pi i} \int \limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\log \zeta(s)}{s} x^s \mathrm{d}s.

Ennek nehézkes kiértékelése ellenére si8került a következőre jutnia:

 \Pi(x) = \mathrm{Li}(x) - \sum_{\rho} \mathrm{Li}(x^\rho) - \log 2 + \int \limits_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t},

ahol \mathrm{Li}\,x=\int_2^x\frac{\mathrm dt}{\log t} az integrállogaritmus. Ezután egy Möbius-inverzióval összekapcsolta a  \pi(x) és a \Pi(x) függvényeket:

 {\pi(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n} \Pi(x^{1/n}) = \Pi(x) - \frac{1}{2} \Pi(x^{1/2}) - \frac{1}{3}\Pi(x^{1/3}) - \frac{1}{5}\Pi(x^{1/5}) + \frac{1}{6} \Pi(x^{1/6}) - \cdots },

ami egy mélyebb összefüggést ad a prímszámok és a zéta-függvény gyökei között.

Megjegyzés: Numerikus számítás esetén a Riemann-képletben az összegben  \mathrm{Li}(x^\rho) -t  \mathrm{Ei}(\rho \log x) -szel kell helyettesíteni, ahol  \mathrm{Ei}(x) a komplex integrálexponenciális függvény, mivel  x^\rho kiértékelésekor a logaritmus főágára nem biztos, hogy teljesül  \log x^\rho = \rho \log x , így hamis eredményre jutnánk.

Következmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a prímszámok számának becslése pontosítható: (Helge von Koch 1901):[3]

\pi(x) = \mathrm{Li}\,x+\mathcal{O}(\sqrt x\cdot\log x)

Sőt, Koch eredménye ekvivalens a Riemann-sejtéssel. Az előbbi összefüggés egy másik alakja:

| \pi(x) - \mathrm{Li}\,x | < K \sqrt x\cdot\log x

egy K >0 konstans erejéig, és ennek egy szigorú gyengítése (ami nem ekvivalens):

\pi(x) = \mathrm{Li}\,x+\mathcal{O}(x^{\frac{1}{2} + \varepsilon})

tetszőleges \varepsilon > 0-ra.

Az analitikus számelméletben sok eredmény, sőt a kriptográfiában is fontos gyors prímtesztek is csak a Riemann-sejtést feltéve vannak bizonyítva. Michael Berry fizikus szerint a zéta-függvény komplex gyökeiben kódoltan megjelennek a prímszámok eloszlásának fluktuációi az aszimptotikus logaritmikus eloszlás körül. A pontos eloszlás ismeretében pontosabb kijelentések tehetők arról, hogy egy tartományban mennyi prímszám van.

A sejtés egy különben kaotikusan viselkedő függvény egy szimmetriatulajdonságáról szól. A zéta-függvény kaotikusságát mutatja, hogy minden, az azonosan nullától különböző analitikus függvényt egy 1/4 sugarú körben approximál. Ez a szimmetria maga valószínűleg egy alapvető elméletet rejt, ahogy például a nagy Fermat-tétel is az elliptikus görbék moduláris függvényekkel való paraméterezését, amit a Langlands-program vizsgált.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eredete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sejtést Bernhard Riemann vetette fel, amikor a zéta- és a gammafüggvény szorzatát tanulmányozta. Ez írható az

\xi(s) = \pi^{- \frac {s} {2}} \; \Gamma \left( \frac {s} {2} \right) \zeta (s) ,

alakban. Erről Riemann kiderítette, hogy invariáns arra, hogy felcseréljük az s-t (1-s)-sel. Más szavakkal, megfelel az

 \!\ \xi(s) = \xi(1-s).

függvényegyenletnek. Az  s = 1/2 + it helyettesítéssel nyerte a következőt minden  t \in \mathbb{C} -re:

 \!\ \xi(1/2 + it) = \xi(1/2 - it).

Ennek a tükrözésnek a tengelye az 1/2 valós részű komplex számok egyenese, ami pontonként fix. Riemann ugyan valós gyökökről írt, de ezzel arra gondolt, hogy az  s = 1/2 \pm it kritikus sávban a

 \xi(s) = \xi(1/2 \pm it) = 0

egyenlet csak valós t-kre oldható meg.

Gyökmentes tartomány[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az analitikus számelméletben a komplex számokat általában s=σ+ti alakban szokták felírni, tehát σ a valós rész, t a képzetes rész. A sejtés tehát az, hogy a 0≤σ≤1 sávba eső gyökökre σ=½ teljesül. Először Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée-Poussin igazolta, hogy nincs a σ=1 egyenesen gyök. Ebből már következik a prímszámtétel és mint utóbb kiderült, ekvivalens is vele. De la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy ha s=σ+ti, akkor

\sigma< 1- \frac{c}{\log t}

teljesül.

Ezt Littlewood javította meg 1922-ben:

\sigma< 1- \frac{c \log\log t}{\log t}.

A következő eredményt Korobov és Vinogradov adta 1958-ban:

\sigma< 1- \frac{c}{(\log t)^{2/3+\varepsilon}}

minden ε>0-ra.

A legjobb eredmény szerint[4] ha |t| ≥ 3, akkor

\sigma< 1-\frac{1}{57,45(\log{|t|})^{3/2}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}.

Általánosítási kísérlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pólya György 1919-ben felállította azt az erősebb sejtést, hogy tetszőleges x természetes számra azon n\leq x számok száma, amiknek páratlan sok prímtényezője van (összesen), legalább annyi, mint amennyinek páros. Ezt C. Brian Haselgrove 1958-ban megcáfolta, nem igaz például x=906180359-re.

Hamis riasztások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • 1885-ben Stieltjes rövid jegyzetet publikált a párizsi akadémia Comptes Rendusjében és egy Hermite-nek írt levelében megerősítette, hogy bebizonyította a Mertens-sejtést, ami erősebb, mint a Riemann-sejtés. Bizonyítást azonban haláláig nem publikált, és jegyzetei között sem találták nyomát.
  • A kiváló matematikus, Johan Jensen 1899-es cikkében megemlítette, hogy bebizonyította a Riemann-sejtést.
  • 1943-ban Hans Rademacher az utolsó pillanatban vonta vissza cikkét a Transactions of the American Mathematical Society c. folyóiratból, miután Siegel megtalálta a hibát.
  • 1961-ben az odesszai egyetem folyóiratában publikálta hibás bizonyítását N. I. Gavrilov. Később külön brosúrában majd könyvben is megjelentette, az ogyesszai illetve a lembergi egyetem kiadásában.
  • 2004. június 8-án a Purdue Egyetem sajtóközleményében jelentette be Louis de Branges, hogy fáradozásai sikerrel jártak: bizonyítását feltette a világhálóra. Sajnos ebben egy olyan megközelítést használt, amelynek a cáfolatát már 1998-ban bemutatták.[5] De Branges ezen kívül még számos hibás bizonyítást adott az invariáns alterek problémájára, a mérhető számosságok nemlétezésére és a Riemann-sejtésre. A Bieberbach-problémára adott 1984-es bizonyítása azonban utóbb helyesnek (pontosabban javíthatónak) bizonyult.
  • 2007-ben tette közzé a Riemann-sejtés cáfolatát Tribikram Pati. Bizonyítását hibásnak mutatta ki például Bernhard Johann Krötz[6]

Általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az általánosított Riemann-sejtésen rendszerint a következőt értik:[7]

Tetszőleges Dirichlet-karakterhez tartozó Dirichlet-sor analitikus folytatásának

L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s},

a 0\leq\operatorname{Re}(s)\leq 1 kritikus sávban az összes gyökére teljesül, hogy \operatorname{Re}(s)=1/2. Ennek a Riemann-sejtés egy speciális esete. Andrew Granville belátta, hogy ez az általánosított Riemann-sejtés ekvivalens a Goldbach-sejtéssel.[7]

Kapcsolatai más sejtésekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az analitikus számelméletben más sejtések is kapcsolatba hozhatók a Riemann-sejtéssel.

A Merstens-sejtés azt állítja, hogy \textstyle \left| M(n)\right| = \left| \sum_{k=1}^n \mu(k)\right| < \sqrt{n} minden n>1-re. Itt \mu a Möbius-függvény és M a Mertens-függvény. A Riemann-sejtésnél szigorúbb sejtést 1985-ben megcáfolták.[8]

Arnaud Denjoy valószínűségi értelmezést adott a Riemann-sejtésnek.[9] Legyen \mu (k) egy véletlen sorozat az (1, -1) elemekből egyenlő valószínűséggel. Ekkor minden \varepsilon > 0-ra

\left|M(x)\right| =\left| \sum_{k \le x} \mu(k) \right| \in \mathcal{O}(x^{1/2+\varepsilon})

ami azt jelenti, hogy a nullától való távolság legfeljebb olyan gyorsan nő, mint x^{1/2+\varepsilon}. Ha itt \mu a Möbius-függvény, akkor a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy ez az aszimptitikus növekedés az összegre is érvényes.(Littlewood 1912)[10] Littlewood továbbá azt is belátta, hogy a Riemann-sejtés a következővel is ekvivalens: Minden \varepsilon > 0 esetén a M(x) x^{-\frac{1}{2} - \varepsilon} tart a nullához, ha x \infty tart a végtelenhez. A Riemann-hipotézis értelmezhető úgy, hogy a Möbius-függvény eloszlása véletlenszerű.

Továbbá következik egy korlát is a prímszámtétel hibájának növekedésére. Koch eredménye azonban ekvivalens a Riemann-hipotézissel.[11]

A következőből következik a Riemann-hipotézis:

\left| {\pi (x) - \operatorname{Li} (x)}\right| \in \mathcal{O}( \sqrt {x} \cdot \log (x))

A Lindelöf-sejtés a zéta-függvény növekedéséről a kritikus egyenes mentén gyengébb a Riemann-sejtésnél, de nincs bizonyítva.

Riesz Marcell 1916-ban megmutatta az ekvivalenciát a Riesz-függvény aszimptotikus viselkedésével kapcsolatos sejtéssel. Jerome Franel 1924-ben egy Farey-sorokról tett kijelentéssel kapcsolatban bizonyított ekvivalenciát. Ez azt állítja, hogy a (0,1) intervallum racionális számainak rendezése lineáris formába és a Farey-sorok sorrendje egy jóldefiniált matematikai értelemben annyira eltér, amennyire csak lehet.

Jeffrey Lagarias 1992-ben egy ekvivalens sejtést fogalmazott meg az elemi számelmélet eszközeivel.[12]

Bizonyítási ötletek a fizikából[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyítás újabb ötletei a fizikából származnak. Már David Hilbertnek és Pólya Györgynek feltűnt, hogy a Riemann-sejtés következne abból, hogy ha a gyökök egy (1/2 + i T) operátor sajátértékei lennének, ahol T hermitikus, tehát minden sajátértéke valós, mint a kvantummechanika Hamilton-operátorainak. Az 1970-es években Hugh Montgomery beszélgetve Freeman Dysonnal arra jutott, hogy az egymást követő gyökök távolsága hasonló eloszlást mutat, mint a véletlen unitérmátrixok sajátértékei. Ezt Andrew Odlyzko numerikus számításokkal megerősítette. Az 1990-es években fizikusok is, mint Michael Berry keresték az ezeket megalapozó rendszert, a kvantumkáosz elméletének rendszerében. Ez további támogatást kapott a Riemann-féle zéta-függvény explicit képleteinek és a Selberg-nyomformuláinak analógiájától, ami egy Riemann-felületen értelmezett Laplace-Beltrami-operátor sajátértékeit hozza kapcsolatba a zárt geodetikus görbék hosszával, és a kvantumkáosz Gutzwiller-képletével. Ez összekapcsolja egy klasszikus kaotikus rendszer, mint kvantummechanikai rendszer sajátértékeket (energiákat) a klasszikus eset periodikus pályáival. Ezek a nyomformulák azonosságot fejeznek ki a gyökök, pályaperiódusok és sajátértékek között.

Az Alain Connes által 1996-ban megadott operátor gyorsan illeszkedik. Mindazonáltal nem tudta kizárni a kritikus egyenesen kívüli gyökök létét.[13]

Egy további, a fizikából származó ötlet a Jang-Li-gyökök, amelyek a statikus mechanika analitikus folytatásának állapotösszegei. Jang Csen-ning és Li Cseng-tao bizonyították Pólya György egy eredményéből, hogy bizonyos modellek esetén a gyökök egy körön, más modellekben egy egyenesen helyezkednek el. A gyökök helye a fázisátmenetek alatti viselkedést határozza meg, hasonlóan, mint a Riemann-féle zéta-függvény a prímek elhelyezkedését.

Ezek mögött a következő analógia rejlik: A prímszámok elemi részecskék, amelyek a szorzás által kölcsönhatásba lépnek egymással, és így építik fel az összetett számokat. Ezzel együtt mindegyiket az összeadás építi fel. A zéta-függvényben ez a két aspektus összekapcsolódik.

Freeman Dyson 2009-ben az egydimenziós kvázikristályokkal hozta kapcsolatba a sejtést.[14]

Ismeretterjesztő könyvek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemannsche Vermutung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Robin, G.: Grandes Valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. J. Math. Pures Appl. 63, 187-213, 1984. Robin cikke.
  2. Lagarias, J.: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534--543.
  3. Helge von Koch: Sur la distribution des nombres premiers, Acta Mathematica, Band 24, 1901, S. 159–182
  4. Ford, K. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), pp. 565-633
  5. Matthew Watkins: proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis
  6. Jason Dyer: Riemann Hypothesis disproof #296
  7. ^ a b Granville: Refinements of Goldbach’s Conjecture
  8. A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele: Disproof of the Mertens conjecture. In: J. reine angew. Math., Band 357, 1985, S. 138–160, dtc.umn.edu
  9. Denjoy: L’Hypothése de Riemann sur la distribution des zéros de \zeta (s), reliée à la théorie des probabilités. In: Comptes Rendus Acad. Sc., Band 192, 1931, S. 656–658. Edwards: Riemanns Zeta Function, 1974, S. 268. Edwards kommentiert diese Interpretation so: though it is quite absurd when considered carefully, gives a fleeting glimmer of plausibility to the Riemann hypothesis.
  10. Littlewood: Quelques conséquences de l’hypothèse que la fonction \zeta (s) n’a pas de zéros dans le demi-plan Re (s) > \frac {1}{2}. In: Comptes Rendus, Band 154, 1912, S. 263–266. Edwards, loc. cit. S. 261.
  11. Edwards: Riemann’s Zeta function, Kapitel 5
  12. Lagarias: An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis. In: American Mathematical Monthly, Band 109, 2002, S. 534–543
  13. Connes: Trace formula in non commutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function. 1998
  14. Dyson: Birds and Frogs. (PDF) Notices AMS 2009