Osztószám-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelmélet magyar szakirodalmában általában d(n)-nel jelölt osztószám-függvény a pozitív természetes számok halmazán értelmezett számelméleti függvény, melynek értéke az argumentum (pozitív) osztóinak száma (az osztók közé 1-et és magát a független változóként vett számot is beleértve). Képlete tehát

.

Például a 6 osztói: 1,2,3,6; ezért 6-nak négy osztója van, s így d(6) = 4; míg a 12 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 12; ezért 12-nek hat darab osztója van, s így d(12) = 6.

A d(n) jelölést G. H. Hardy és E. M. Wright vezették be 1979-ben.[1] A külföldi szakirodalomban másféle jelölések is előfordulnak, például σ0(n) (szigma-null-jelölés ld. általánosítások), ν(n) (nü-jelölés, Ore, 1988[2]), illetve τ(n) (tau-jelölés).[3]

A d(n) függvény grafikonja (n=250-ig)

Értékei kis számokra[szerkesztés]

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
d(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4 5 2 6 2 6
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
d(n) 4 4 2 8 3 4 4 6 2 8 2 6 4 4 4 9 2 4 4 8
n 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
d(n) 2 8 2 6 6 4 2 10 3 6 4 6 2 8 4 8 4 4 2 12
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
d(n) 2 4 6 7 4 8 2 6 4 8 2 12 2 4 6 6 4 8 2 10
n 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
d(n) 5 4 2 12 4 4 4 8 2 12 4 6 4 4 4 12 2 6 6 9

[4]

Különleges (elfajult) esetet képez d(0) = |N| = 0, hiszen 0-nak minden természetes szám az osztója; ezért 0-ra a d(n) függvényt nem lehet a természetes számok körében maradva értelmezni. Érvényes viszont d(1) = 1, hiszen 1-nek és csakis az egynek van egyetlen osztója (önmaga). A prímszám definíciójából adódóan d(p) = 2 csakkor, ha p prím.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Algebrai-számelméleti tulajdonságok[szerkesztés]

Értékei prímhatványokra[szerkesztés]

Ha α>0 természetes szám és p∈N prímszám, akkor

.

Ennek speciális eseteként

.

Amint fentebb mondtuk, a második egyenlőség a prímszám definíciójának is egyszerű következménye (hiszen egy p prímnek pontosan két osztója van). Az első egyenlőség a számelmélet alaptételéből következik, ugyanis pα osztói pontosan a pβ alakú számok, ahol 0≤β≤α és β∈N; vagyis 1=p0, p=p1, p2, …, pα, ez pedig tényleg a p kitevőjénél eggyel több osztó.

Kanonikus kiszámítási mód[szerkesztés]

A multiplikativitást és az előző tulajdonságot felhasználva, az argumentum kanonikus alakja ismeretében a d(n) függvényt kiszámító képlet adható. Eszerint ha az n>1 természetes szám prímtényezőkre bontása (kanonikus alakja) 1, …, αg, g ∈N+ és p1, …, pg prímszámok)†; akkor érvényes:



.

Tehát azt mondhatjuk, egy szám osztóinak száma épp a kanonikus felbontásában előforduló kitevők eggyel való megnövelésével kapott számok szorzata.

Ez a tétel a multiplikativitásra való hivatkozás nélkül, elemi úton is bizonyítható (szintén a számelmélet alaptételére mint központi alapelvre hivatkozva). Tekintsük az alábbi táblázatot (mellékeltünk egy példát az n = 1500 = 223153 esetére):[5]

prímtényezők →
↓ kanonikus kitevő
p1 p2 pn
0 0 0
1 1 1
α1 α2 αg
1500
223153
2 3 5
0 0 0
1 1 1
2 2
3

Legyen a táblázatnak annyi oszlopa, ahány (különböző) prímtényezője van n-nek (tehát g darab), a j-edik oszlop fejlécébe írjuk be a j-edik prímtényezőt (j 1 és g közé esik), majd minden oszlop celláiba írjuk rendre a 0,1,2,3,.. számokat egész addig, míg el nem érjük az illető oszlop fejlécében lévő prímtényezőnek az n kanonikus alakjában szereplő kitevőjét (tehát a j-edik oszlopnak αj db. számozott cellája lesz). Minden 1-nél nagyobb természetes számnak van prímfelbontása, és így minden 1-nél nagyobb természetes számhoz egy-egyértelműen tartozik egy ilyen táblázat. A bizonyítás a következő:

  1. Egy-egyértelműség a táblázatok és az n osztói között: A SzAT egy ismert következménye, hogy n egy m osztójának kanonikus alakja épp . Az m osztó megadása azzal ekvivalens, hogy minden oszlopból kiválasztunk egy cellát, azt, amelyben a &betaj kitevő áll.
  2. Az oszlopokban álló elemek számát össze kell szorozni: Minden oszlopban αj+1 db. elem áll (0-tól αj-ig), tehát a j-edik oszlopból αj+1-féleképp választhatunk kitevőt. A következő oszlopból hasonlóképp, és a választások egymástól függetlenek (akármelyik kitevőt választottuk az egyik oszlopban, egy másik oszlopban tetszőleges, ott szereplő kitevőt választva is az n egy osztóját kapjuk), így az összes választási lehetőség száma úgy adódik, hogy az oszloponkénti választási lehetőségek számát, azaz az αj+1-eket összeszorozzuk (ez szigorúbban j-re vonatkozó teljes indukcióval is bizonyítható). Vagyis megkaptuk, hogy az összes osztó száma (α1+1)(α2+1)…(αg+1). QED.

Multiplikativitás[szerkesztés]

(Gyengén) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán felvett értéke a számokon felvett értékének szorzata. Formálisan:

Például:

  • a=4, és σ(4) = 3;
  • b=15, és d(15) = 4;

(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)

A két szám szorzata: 4·15 = 60, valamint d(60) = |{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}| = 12, ami pontosan 3·4.

Ez a tulajdonság a SzAT egyszerű következménye. A SzAT egyik következménye szerint relatív prím számok szorzatának osztói a tényezők osztói szorzatai. Ha A jelöli az a osztói halmazát, B meg a b osztóiét, C meg az ab osztóiét, akkor d(ab) = |C|, de c mivel minden eleme egy-egyértelműen előáll egy A-beli meg egy B-beli elem szorzataként, azaz egy A-beli x és egy B beli y elem párosa, (x,y)∈A×B, egyértelműen megfelel egy C-beli elemnek, ezért ezek száma ugyanaz, mint A×B elemeinek száma, ami viszont épp |A|×|B| (két halmaz direkt szorzatának számossága a tényezők direkt szorzata); így |A|=d(a) és |B|=d(b) miatt d(ab) = |C| = |A×B| = |A|·|B| = d(a)d(b). QED.

Analitikus tulajdonságok[szerkesztés]

Az osztószám-függvény növekedése szabálytalan (nem monoton, nem csak az argumentum nagyságától függ, hanem annak multiplikatív szerkezetével (prímfelbontás) is erős kapcsolatban áll).

Korlátosság: alulról korlátos[szerkesztés]

A d(n) függvény triviálisan alulról korlátos, hiszen értéke bármely nemnegatív argumentumra nemnegatív, és értékkészletének van legkisebb eleme, az 1, melyet az n = 1 helyen vesz fel.

1 = min(R(d(n)))

Mivel a minimum, ha létezik, mindig alsó korlát, mégpedig a legnagyobb,m így az osztószám függvény legnagyobb alsó korlátja, avagy alsó határa (infimuma) 1: inf(R(d(n))) = 1.

Ugyanakkor e függvény nem felülről korlátos, ld. lentebb.

Értékkészlet[szerkesztés]

Sőt, valójában minden 0-nál nagyobb értéket felvesz, méghozzá minden 1-nél nagyobb értéket végtelen sokszor (tetszőleges p prímre és α≥1 természetes számra d(pα-1) = α miatt).

Értékei összege[szerkesztés]

Lejeune Dirichlet 1838-ban igazolta a d(n) függvény értékeinek összegére, hogy

ahol γ az Euler-konstans. Az, hogy itt a hibatag -ről mennyire csökkenthető, a számelmélet egyik nevezetes problémája, a Dirichlet-féle osztóprobléma. G. Voronoj 1903-ban megmutatta, hogy a hibatag -re csökkenthető. G. A. Kolesnik 1982-ben megmutatta, hogy a hiba minden -ra, ahol . Másrészt G. H. Hardy és A. E. Ingham megmutatta, hogy a hiba nem .

Számelméleti eredmények[szerkesztés]

A d(n) függvény minden 1-nél nagyobb egész értéket végtelen sokszor felvesz (ld. fentebb). Igen elemi úton bizonyítható (ld. még osztópárok), hogy értéke csakis a négyzetszámokra páratlan. Rövid, a szimultán kongruenciarendszerekre vonatkozó tételeket és a Dirichlet-tételt használó bizonyítás adható arra, hogy grafikonja „tetszőlegesen mély völgyeket/magas csúcsokat” tartalmaz szomszédos argumentumokra is, azaz tetszőleges h∈R+ pozitív valós számhoz létezik olyan n>1 természetes szám, hogy igaz d(n)<d(n-1)+h,d(n+1)+h.[6]

Általánosítások[szerkesztés]

Leggyakrabban előforduló általánosítása az osztóhatványösszeg-függvény, mely a független változó osztói r-edik hatványainak összege (r valós szám):

A d(n) = σ0(n) függvény ennek speciális esete r=0-ra.


Lehetséges más konkrét algebrai struktúrákban, például kommutatív grupoidokban, félcsoportokban vagy – a legérdekesebb esetként – gyűrűkben is rákérdezni egy adott (x) elemet „osztó” más (y) elemek (az x=dy egyenlet megoldásai, ahol y és d ismeretlenek) számára.

Hivatkozások[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Hardy, G. H. and Wright, E. M.: An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 354-355, 1979. ISBN 0198531710 (újabb kiadás). Ld. 239. old.
  2. Øystein Ore: Number Theory and Its History. New York: Dover, 1988. Ld. 86. old.
  3. Burton, D. M.: Elementary Number Theory, 4. kiad.; Boston, MA: Allyn and Bacon, 1989. Ld. 128. old.
  4. Forrás: N. J. A. Sloane [1]
  5. Az általános esetet illusztráló táblázat annyiban torz, hogy nem jeleníthető meg rajta az egyes kanonikus kitevők különbözősége – hogy konkrét n-re egy-egy oszlopnak különböző számú megszámozott cellái lehetnek.
  6. Ld. Gyarmati-Turán: Számelmélet; 6. f., T.6.13.; 187. old.

Irodalom[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]