Mersenne-prímek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában Mersenne-prímnek nevezzük a kettő-hatványnál eggyel kisebb, azaz a 2^n -1 alakban felírható prímszámokat, ahol n szintén prímszám. A nevüket Marin Mersenne (1588–1648) francia szerzetes, matematikus, fizikus után kapták.

Matematikai alapok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Például a 31 (prímszám) = 32 ‒ 1 = 25 ‒ 1, és 5 szintén prím, ezért a 31 egy Mersenne-prím; hasonlóan, 7 = 8 ‒ 1 = 23 ‒ 1. Másrészt 2047 = 2048 ‒ 1 = 211 ‒ 1, nem Mersenne-prím, mivel bár a 11 prímszám, a 2047 nem az (osztható 89-cel és 23-mal). A modern kori matematikában a legnagyobb ismert prímszám gyakran Mersenne-prím volt.

A Mersenne-prím definíciójában a kikötés, hogy n szükségképpen prím, elhagyható, ugyanis minden összetett n esetén elemi módon felbontható:

\begin{align}2^{ab}-1&=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^b-1)\cdot \left(1+2^b+2^{2b}+2^{3b}+\cdots+2^{(a-1)b}\right).\end{align}

Általánosabban, a Mersenne-számok (nem feltétlenül prímek, de lehetnek azok is) olyan természetes számok, amik eggyel kisebbek egy kettő-hatványnál, tehát;

Mn = 2n − 1.

(a legtöbb forrás a Mersenne-számoknál is megköveteli, hogy az n prímszám legyen)

Aktuális[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ábra az adott évben ismert legnagyobb Mersenne-prím számjegyeinek számáról.

2008. augusztus 23-án fedezték fel a 45-ödik Mersenne-prímet, ez a 243 112 609−1 szám, amely 12 978 189 számjegyű.[1]

2008. szeptember 6-án találták meg a 46-odik Mersenne-prímet, ez a 237 156 667−1 szám, amely 11 185 272 számjegyű, azaz jóval kisebb a két héttel idősebb társánál.

2009. április 12-én találták meg a 47-edik Mersenne-prímet, ez a 242 643 801−1 szám, amely 12 837 064 számjegyű, azaz 141 125 számjeggyel kisebb a 2008. augusztus 23-ai számnál.

2013. január 25-én találták meg a 48-adik Mersenne-prímszámot, ez a 257 885 161−1 szám, amely 17 425 170 számjegyből áll. Jelenleg ez a legnagyobb ismert prímszám.[2]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. http://index.hu/tudomany/719080mirp/. index.hu, 2008. szeptember 17. (Hozzáférés: 2008. szeptember 18.)
  2. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^57,885,161-1. mersenne.org. (Hozzáférés: 2013. február 5.)