Számelméleti függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis alakú függvényekről van szó.

Rengetegféle ilyen függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány neve (ha van) és jele:

Példák[szerkesztés]

( jelölje a prímszámok halmazát:

Egész értékű számelméleti függvények[szerkesztés]

jel név (nevek) jelentés definitív képlet(ek)
d(n) osztószám-függvény az argumentum osztóinak száma
 :=  :=
σ(n) osztóösszeg-függvény (szigma-függvény) az argumentum osztóinak összege
s(n) valódiosztóösszeg-függvény az argumentum valódi osztóinak összege
σx(n) osztóhatványösszeg-
függvény
az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege ; (x∈R)
P(n) osztószorzat-függvény az argumentum osztóinak szorzata
ν(n) nű-függvény az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)
χ(n) khí-függvény az argumentum különböző prímtényezőinek száma
 :=  :=
φ(n) Euler-függvény (fí-függvény) az argumentumhoz relatív prím, nála nem nagyobb pozitív egészek száma NN;
φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n) Möbius-függvény (mű-függvény) egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény ;
π(n) diszkrét prímszámláló függvény az argumentumnál nem nagyobb prímek száma NN; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n) lnko-összeg-függvény az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege [1]

Valós értékű számelméleti függvények[szerkesztés]

  • A Λ(n) von Mangoldt-függvény:

Komplex értékű számelméleti függvények[szerkesztés]

Fontosabb fogalmak[szerkesztés]

Additivitás és multiplikativitás[szerkesztés]

  • Egy számelméleti függvény additív, ha bármely , esetén . Ha az feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk.
  • Egy számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely , esetén . Ha az feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk.

Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)[szerkesztés]

Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:

ahol d végigmegy n összes osztóján.

Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:

ahol a konstans 1 függvény.

invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény.

A konvolúcióra teljesülnek a következők:

  • Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív
  • Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív
  • Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla
  • Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az
  • Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív
  • A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1.
  • A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve:
  • Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen.
    • Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.

A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.

Bell-sorozat[szerkesztés]

Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:

Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:

minden p prímre.

Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:


Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor:

Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata:

  • A Möbius-függvényé
  • Az Euler-féle függvényé
  • A függvényé
  • A Liouville-függvényé
  • Az Idk hatványfüggvényé Idk a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: .
  • A osztóösszeg-függvényé

Források[szerkesztés]

  • Freud–Gyarmati: Számelmélet
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Itt (n,i) az n,i számok legnagyobb közös osztóját jelöli

Külső hivatkozások[szerkesztés]