Szerencsés számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika, azon belül a számelmélet területén egy szerencsés szám (lucky number) olyan természetes szám, amit egy bizonyos fajta szita segítségével lehet generálni. Ez hasonló a prímszámokat generáló Eratoszthenész szitájához, azzal a különbséggel, hogy ez a maradék halmaz sorszámait figyelembe véve húz ki elemeket, nem az eredeti halmaz (vagy másképp, mintha az eredeti Eratoszthenész szitája nem csak áthúzná az elemeket, hanem a rákövetkező elemek beesnének a kihúzottak helyére).

Elkezdjük a pozitív egész számok listájával:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Minden második számot (a páros számokat) kitöröljük, így megmaradnak a páratlan egészek:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
A sorozat második eleme a 3. Az 5-tel kezdve a sorozat minden harmadik elemét kihúzzuk:
1 3 7 9 13 15 19 21 25
A következő túlélő szám a 7. A 19-cel kezdve minden hetedik elemet kihúzunk:
1 3 7 9 13 15 21 25

A módszer annyiból is különbözik az Eratoszthenész szitája során alkalmazottól, hogy a számok, amiken a szitálást végezzük (pl. a harmadik menetben az 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19... számok) mindig különböznek, míg Eratoszthenész szitájában a szita mindig az eredeti listát (1, 2, 3...) szűri.

A szitálást teljesen elvégezve, a megmaradó számokat nevezzük szerencsés számoknak:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (A000959 sorozat az OEIS-ben).
A szerencsés számok szitálását bemutató animáció. A piros számok a szerencsések.

A kifejezést Gardiner, Lazarus, Metropolis és Ulam javasolták 1956-ban megjelentetett cikkükben. A módszert meghatározó szitálást „Josephus Flavius szitájának”[1] nevezték, a Josephus-probléma kiszámolós-játékához való hasonlósága miatt.

A szerencsés számok néhány tulajdonságukban a prímszámokra emlékeztetnek, például a prímszámtétel szerinti aszimptotikus viselkedésükben; a Goldbach-sejtés egy változatát a szerencsés számokra is kiterjesztették. Végtelen sok szerencsés szám létezik. Azonban, ha Ln-nel jelöljük az n-edik szerencsés számot, és pn-nel az n-edik prímet, akkor Ln > pn minden elegendően nagy n-re.[2]

A prímszámokkal való nyilvánvaló kapcsolatuk miatt egyes matematikusok szerint a prímszámok tulajdonságai a természetes számok különböző sziták által generált, még fel nem derített halmazaiban is jelen lehetnek, bár kevés elméleti alapja van ennek a sejtésnek. Az ikerprímek és az iker-szerencsés számok hasonló gyakorisággal lépnek fel.

A szerencsés prímek olyan szerencsés számok, melyek egyben prímszámok. Nem ismert, hogy végtelen sok szerencsés prím létezik-e. Az első néhány szerencsés prím:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193 (A031157 sorozat az OEIS-ben).

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Gardiner et al (1956)
  2. (1957) „The lucky number theorem”. Mathematics Magazine 31 (2), 81–84,277–280. o. DOI:10.2307/3029213. ISSN 0025-570X.  

További információk[szerkesztés]