Szerencsés számok
A matematika, azon belül a számelmélet területén egy szerencsés szám (lucky number) olyan természetes szám, amit egy bizonyos fajta szita segítségével lehet generálni. Ez hasonló a prímszámokat generáló Eratoszthenész szitájához, azzal a különbséggel, hogy ez a maradék halmaz sorszámait figyelembe véve húz ki elemeket, nem az eredeti halmaz (vagy másképp, mintha az eredeti Eratoszthenész szitája nem csak áthúzná az elemeket, hanem a rákövetkező elemek beesnének a kihúzottak helyére).
| Elkezdjük a pozitív egész számok listájával: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| Minden második számot (a páros számokat) kitöröljük, így megmaradnak a páratlan egészek: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | ||||||||||||
| A sorozat második eleme a 3. Az 5-tel kezdve a sorozat minden harmadik elemét kihúzzuk: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 7 | 9 | 13 | 15 | 19 | 21 | 25 | ||||||||||||||||
| A következő túlélő szám a 7. A 19-cel kezdve minden hetedik elemet kihúzunk: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 7 | 9 | 13 | 15 | 21 | 25 | |||||||||||||||||
A módszer annyiból is különbözik az Eratoszthenész szitája során alkalmazottól, hogy a számok, amiken a szitálást végezzük (pl. a harmadik menetben az 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19... számok) mindig különböznek, míg Eratoszthenész szitájában a szita mindig az eredeti listát (1, 2, 3...) szűri.
A szitálást teljesen elvégezve, a megmaradó számokat nevezzük szerencsés számoknak:
- 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (A000959 sorozat az OEIS-ben).
A kifejezést Gardiner, Lazarus, Metropolis és Ulam javasolta 1956-ban megjelentetett cikkükben. A módszert meghatározó szitálást „Josephus Flavius szitájának”[1] nevezték, a Josephus-probléma kiszámolós-játékához való hasonlósága miatt.
A szerencsés számok néhány tulajdonságukban a prímszámokra emlékeztetnek, például a prímszámtétel szerinti aszimptotikus viselkedésükben; a Goldbach-sejtés egy változatát a szerencsés számokra is kiterjesztették. Végtelen sok szerencsés szám létezik. Azonban ha Ln-nel jelöljük az n-edik szerencsés számot és pn-nel az n-edik prímet, akkor Ln > pn minden elegendően nagy n-re.[2]
A prímszámokkal való nyilvánvaló kapcsolatuk miatt egyes matematikusok szerint a prímszámok tulajdonságai a természetes számok különböző sziták által generált, még fel nem derített halmazaiban is jelen lehetnek, bár kevés elméleti alapja van ennek a sejtésnek. Az ikerprímek és az iker-szerencsés számok hasonló gyakorisággal lépnek fel.
A szerencsés prímek olyan szerencsés számok, melyek egyben prímszámok. Nem ismert, hogy végtelen sok szerencsés prím létezik-e. Az első néhány szerencsés prím:
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Gardiner et al (1956)
- ↑ (1957) „The lucky number theorem”. Mathematics Magazine 31 (2), 81–84,277–280. o. DOI:10.2307/3029213. ISSN 0025-570X.
- (1956) „On certain sequences of integers defined by sieves”. Mathematics Magazine 29 (3), 117–122. o. DOI:10.2307/3029719. ISSN 0025-570X.
- Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2
További információk
[szerkesztés]- Peterson, Ivars. MathTrek: Martin Gardner's Lucky Number Archiválva 2012. október 2-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Weisstein, Eric W.: Lucky Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Lucky Numbers by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
- Symonds, Ria: 31: And other lucky numbers. Numberphile. Brady Haran. [2016. szeptember 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 16.)