Andrica-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
(a) Az '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' függvény grafikonja az első 100 prímre.
(a) Az függvény grafikonja az első 100 prímre.
(b) Az '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' függvény grafikonja az első 200 prímre.
(b) Az függvény grafikonja az első 200 prímre.
(c) Az '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' függvény grafikonja az első 500 prímre.
(c) Az függvény grafikonja az első 500 prímre.
Az Andrica-sejtés grafikus bizonyítása az első (a)100, (b)200, illetve (c)500 prímszámra. Az függvény mindig 1 alatt marad.

A számelmélet területén a Dorin Andrica román matematikusról elnevezett Andrica-sejtés a prímszámok közötti hézagokról szóló sejtés.[1]

A sejtés állítása szerint a

egyenlőtlenség minden -re teljesül, ahol az n-edik prímszám. Ha jelöli az n-edik prímhézagot, akkor az Andrica-sejtés a következőképpen is megfogalmazható:

Empirikus bizonyítékok[szerkesztés]

Imran Ghory a legnagyobb prímhézagokra vonatkozó adatok felhasználásával igazolta a sejtést egészen 1,3002 · 1016-ig.[2] A fenti prímhézag-egyenlőtlenség és a táblázatok segítségével a sejtés egészen 4 · 1018-ig bizonyított.

Az diszkrét függvény grafikonja a jobb oldalon látható. Az csúcsértékei n = 1, 2 és 4-nél találhatók; A4 ≈ 0,670873..., aminél nincs nagyobb érték az első 105 prím között. Mivel az Andrica-függvény értéke n növekedésével aszimptotikusan csökken, nagy n-eknél egyre nagyobb prímhézagra van szükség a különbség növeléséhez. Emiatt erősen valószínűnek tűnik, hogy a sejtés igaz, bár még nem sikerült bizonyítani.

Általánosításai[szerkesztés]

Az Andrica-sejtés egyszerű általánosítása a következő egyenlőség:

ahol az n-edik prímszám, x pedig bármely pozitív valós szám lehet.

Az x legnagyobb lehetséges értéke nyilvánvalóan -nél van, amikor xmax = 1. A sejtések szerint x-re a legkisebb megoldás xmin ≈ 0,567148... (A038458 sorozat az OEIS-ben), ami n = 30-nál teljesül.

Az általánosított Andrica-sejtést fel lehet írni egyenlőtlenség formájában is:

, ahol

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Andrica, D. (1986). „Note on a conjecture in prime number theory”. Studia Univ. Babes–Bolyai Math. 31, 44–48. o. ISSN 0252-1938.  
  2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.

További információk[szerkesztés]