Zérusosztó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebrában egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla elemét bal oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla eleme, hogy teljesül.

Hasonlóan, egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla elemét jobb oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla eleme, hogy teljesül.

Azt mondjuk, hogy a grupoid nemnulla eleme zérusosztó (vagy más néven nullosztó), ha egyidejűleg bal oldali zérusosztó és jobb oldali zérusosztó, azaz valamely nemnulla elemekre és teljesül.

Kommutatív struktúrákban a bal oldali zérusosztók és a jobb oldali zérusosztók megegyeznek, azaz minden bal oldali zérusosztó zérusosztó.

Példák[szerkesztés]

  • Az egész számok gyűrűjében nincsenek zérusosztók, azaz zérusosztómentes, de a gyűrűben (ahol az összeadást és a szorzást komponensenként végrehajtott összeadásként, illetve szorzásként definiáljuk) a (0,1) × (1,0) = (0,0), tehát (0,1) és (1,0) zérusosztók.

elem zérusosztó, mert

illetve

A gyűrűben 2·3 = 0.

  • Viszont általában minden ferdetest mentes a zérusosztóktól.

Tulajdonságok[szerkesztés]

A bal oldali zérusosztóknak és a jobb oldali zérusosztóknak sohasem létezik az inverze, mert ha a elem inverze létezik és ab = 0, akkor 0 = a‒10 = a‒1ab = b.

Gyűrűkben minden az egységelemtől különböző nemnulla idempotens elem zérusosztó, mivel a2 = a következménye, hogy a(a ‒ 1) = (a ‒ 1)a = 0 is teljesül. A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei szintén zérusosztók.

A zérusosztóknak fontos szerepe van az egyenletek megoldhatóságában: ab=ac-ból akkor következik b=c, ha a nem (bal oldali) nullosztó.

A zérusosztómentes gyűrűkben (azaz azokban a gyűrűkben, amelyeknek egyetlen eleme sem zérusosztó) minden elem additív rendje megegyezik, ezt a közös rendet a gyűrű karakterisztikájának hívjuk. Az egységelemes, kommutatív, zérusosztómentes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)