Zérusosztó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebrában egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla a elemét bal oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla b eleme, hogy ab=0 teljesül.

Hasonlóan, egy zéruselemes grupoid valamely nemnulla b elemét jobb oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla a eleme, hogy ab=0 teljesül.

Azt mondjuk, hogy a (A, \cdot ) grupoid nemnulla a\in A eleme zérusosztó (vagy más néven nullosztó), ha egyidejűleg bal oldali zérusosztó és jobb oldali zérusosztó, azaz valamely nemnulla b, c\in A elemekre b\cdot a=0 és a\cdot c=0 teljesül.

Kommutatív struktúrákban a bal oldali zérusosztók és a jobb oldali zérusosztók megegyeznek, azaz minden bal oldali zérusosztó zérusosztó.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egész számok \mathbb{Z} gyűrűjében nincsenek zérusosztók, azaz zérusosztómentes, de a \mathbb{Z}^2 gyűrűben (ahol az összeadást és a szorzást komponensenként végrehajtott összeadásként, illetve szorzásként definiáljuk) a (0,1) × (1,0) = (0,0), tehát (0,1) és (1,0) zérusosztók.
\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}

elem zérusosztó, mert

\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}

illetve \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

A \mathbb{Z}_6 gyűrűben 2·3 = 0.

  • Viszont általában minden ferdetest mentes a zérusosztóktól.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bal oldali zérusosztóknak és a jobb oldali zérusosztóknak sohasem létezik az inverze, mert ha a elem inverze létezik és ab = 0, akkor 0 = a‒10 = a‒1ab = b.

Gyűrűkben minden az egységelemtől különböző nemnulla idempotens elem zérusosztó, mivel a2 = a következménye, hogy a(a ‒ 1) = (a ‒ 1)a = 0 is teljesül. A gyűrűk nemzérus nilpotens elemei szintén zérusosztók.

A zérusosztóknak fontos szerepe van az egyenletek megoldhatóságában: ab=ac-ból akkor következik b=c, ha a nem (bal oldali) nullosztó.

A zérusosztómentes gyűrűkben (azaz azokban a gyűrűkben, amelyeknek egyetlen eleme sem zérusosztó) minden elem additív rendje megegyezik, ezt a közös rendet a gyűrű karakterisztikájának hívjuk. Az egységelemes, kommutatív, zérusosztómentes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)