Diszkrét egyenletes eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a diszkrét egyenletes eloszlás egy olyan valószínűségi eloszlás, ahol a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok halmaza, amelyek mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak.

Egy közismert példa a diszkrét egyenletes eloszlásra a kockadobás, ahol a kocka teljesen szabályos. A lehetséges értékek 1, 2, 3, 4, 5, 6 és minden kockadobáskor bármely érték valószínűsége 1/6. Ha viszont két kockát dobunk, akkor az értékek összeadódnak, és az eloszlás már nem lesz egyenletes, mivel a két kocka dobása utáni ’eredmény’eknek már nem lesz egyenlő a valószínűsége. Ha egy [a,b] egész számokat tartalmazó tartományt tekintünk, akkor a és b lesznek az eloszlás fő paraméterei. Így a kumulatív eloszlásfüggvény k ∈ [a,b]-re:

$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$

A maximum becslése

k megfigyelésből, az $1,2,\dots ,N$ egész számok között az N maximumot keressük (akarjuk megbecsülni). Ez a probléma úgy is ismert, mint a német tankprobléma, mely nyomán megbecsülték a német tankok számát a második világháború alatt. Az UMVU becslési módszer szerint:

${\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1$

ahol m a legnagyobb megfigyelt mintaelem, és k a minta nagysága. A szórásnégyzet:

${\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ kis mintákra }}k\ll N$

így a szórás: közel $N/k$,

Jellemző görbék

Tömegfüggvény

Kumulatív eloszlásfüggvény

Irodalom

• Johnson, Roger: Estimating the Size of a Population. (hely nélkül): Teaching Statistics 16. 1994.  

Kapcsolódó szócikkek

• Szórásnégyzet
• Sűrűségfüggvény
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika