Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.
Legyenek
valós számok, és számtani közepüket jelölje
. Ekkor
.
Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes
-t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha
sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő
becslés:[1]
.
A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.[1]
A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:
![{\displaystyle 505,500,495,505}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1eddb1d97e07ea674269a12ca984255db7ae10)
Az átlagos súly:
![{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {505+500+495+505}{4}}=501{,}25}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f73b4530fac89dc6aaaa3907fd3ea08a24981b5)
A négyzetes eltérések összege:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q&=(505-501{,}25)^{2}+(500-501{,}25)^{2}+(495-501{,}25)^{2}+(505-501{,}25)^{2}\\&=14{,}0625+1{,}5625+39{,}0625+14{,}0625\\&=68{,}75\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b9b112fa0f5a3bad8a3555082a2414b38d7577)
További számítások a tétel alkalmazásához:
![{\displaystyle q_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=505+500+495+505=2.005}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a0b256bd1f7908dce038a13052e9d75a57b599)
![{\displaystyle q_{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=255.025+250.000+245.025+255.025=1.005.075}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d000f0dc5c298e5a53c9a59aa4be072a563f29)
![{\displaystyle Q=q_{2}-{\frac {1}{4}}q_{1}^{2}=68{,}75}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4b0948abf3cff816630d9082be42b4657b38d5)
Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:
![{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{4-1}}68{,}75\approx 22{,}9\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e8e7ab9280df827225e30a362f9c28ab9c0bd6)
mivel
![{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}Q\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2688ecf660b3e1cd8c241389ba405d689848574)
Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a
és
összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor
![{\displaystyle q_{1}^{\text{új}}=q_{1}+510=2.005+510=2.515\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3ba197acac14b35044556fad16398a2611aa00)
végül
![{\displaystyle Q^{\text{új}}=q_{2}^{\text{új}}-{\frac {1}{5}}\left(q_{1}^{\text{új}}\right)^{2}=130\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7407f306b1e67cb81e71f851566e575eabde4ee)
Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet
![{\displaystyle s_{\text{új}}^{2}={\frac {1}{5-1}}Q^{\text{új}}=130/4=32{,}5\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e3a74d70c205098dd28be413775694273d15dd2)
Szúrópróba kovarianciája[szerkesztés]
Két valószínűségi változó,
és
a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk
![{\displaystyle s_{xy}:=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}})\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24049bdf599ddd7b006d07f60c23c0a0aca1250)
Eltolási tétellel
![{\displaystyle s_{xy}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df562ecab31694ba4cd91da0ea03b6474cfe241)
A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája
![{\displaystyle s_{xy}^{*}={\frac {1}{n-1}}s_{xy}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b9a66b538608152a5827d023d8f96ac21b1bd)
Valószínűségi változók[szerkesztés]
Egy valószínűségi változó szórásnégyzete
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6273639eee6ea9d474b2f9a8395dc3a71e6bd8a9)
az eltolási tétellel[2]
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba2506141a49a0b47a9364163c94d457f887b5f)
ami König-Huygens-tételként ismert.
A várható érték linearitásával
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X))^{2}{\bigr )}&=\operatorname {E} {\bigl (}X^{2}-2X\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)^{2}{\bigr )}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} {\bigl (}2X\operatorname {E} (X){\bigr )}+\operatorname {E} {\bigl (}\operatorname {E} (X)^{2}{\bigr )}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (X)^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cd2d23b1672eba6961e11a5cfe26e292f57f0d)
Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása:
.
Ha
diszkrét valószínűségi változó az
lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó
valószínűségekkel, akkor
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\sum _{j}p_{j}\left(x_{j}-\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}=\sum _{i}p_{i}x_{i}^{2}-\left(\sum _{i}p_{i}x_{i}\right)^{2}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c724a76f9ba8d5b90cde772115e86557d232c202)
Speciálisan, ha
, akkor
, és a fenti képlettel
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i}x_{i}^{2}-{\overline {x}}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da52524502c6d2f37bb1588100addf3af07b255b)
Ha
abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye
, akkor
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\operatorname {E} (X))^{2}\,f(x)\,\mathrm {d} x\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ca6665710b93766b899d5402615fa586e07471)
Az eltolási tétellel
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x-\operatorname {E} (X)^{2}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f4df16433e4f067077bbb758082737ca51f8d5)
Két valószínűségi változó,
és
kovarianciája
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))\cdot (Y-\operatorname {E} (Y)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8216b15e61c4771532a498a991f6a45d1b3efb39)
Az eltolási tétellel
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca499b7bb89200c7181f22e662ef77bcf382dec)
Diszkrét esetben
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}(x_{j}-\operatorname {E} (X))(y_{k}-\operatorname {E} (Y))\cdot f(x_{j},y_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e1cdda768bc0f2dd550eaee91a434bd28b4f88)
illetve
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\sum _{j}\sum _{k}x_{j}\,y_{k}\,f(x_{j},y_{k})-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e0a13813156ac9c09242371fa84526952c5a72)
ahol
a közös valószínűségi tömegfüggvény, az
és
valószínűségi tömegfüggvényekkel.
Folytonos esetben legyen
és
közös sűrűségfüggvénye az
,
helyen. Ekkor a kovariancia
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x-\operatorname {E} (X))(y-\operatorname {E} (Y))\cdot f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc586178893165d57b36aaa0ca0024f4e0b68b55)
illetve
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xy\,f(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bc0cf767d34c4ae51f80a63a79db4c349089d7)
A legegyszerűbb esetben adottak az
számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:
![{\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21eec3390d8c46acce6477471afe17a20400da74)
ahol
![{\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea63cf50b9f1c9dcb1f9b5846a4d19d93126e80)
a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:[3]
![{\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)+n{\overline {x}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f12d10344474589f080cdf2ab465e3e46c1afd)
.