Esemény (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valószínűségszámításban az eseménytér bizonyos (mérhető) részhalmazainak nem üres halmazát eseményalgebrának nevezzük. Az eseményalgebra minden elemét eseménynek nevezzük. Például a dobókockával páros számot dobunk az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz {2, 4, 6} részhalmazának felel meg. Egy esemény fellép vagy bekövetkezik, ha tartalmazza a véletlen kísérlet eredményét.

Az eseménytér alaphalmazával egyenlő esemény a biztos esemény, mivel mindig bekövetkezik. Ezzel szemben az üres halmaz a lehetetlen esemény, ami sosem következik be. Például kockadobáskor a biztos esemény {1,2,3,4,5,6}, és a lehetetlen .

Példák[szerkesztés]

Kockadobás[szerkesztés]

Kísérlet: Egy szabályos dobókockát feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

A kockadobás eredménye lehet 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os, így ebben a kísérletben . Ekkor , azaz az eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha kettest dobunk és az is ha páratlan számot, de esemény az is ha ötnél kisebb számot.

Érmedobás[szerkesztés]

Kísérlet: Egy szabályos pénzérmét feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

Az érmedobás eredménye lehet fej vagy írás, így ebben a kísérletben . Ekkor , azaz az eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha fejet dobunk és az is ha írást. Az is esemény ha fejet vagy írást dobunk.

Diszkrét események[szerkesztés]

Ha diszkrét eseményhalmaz, azaz legfeljebb megszámlálható végtelen eleme van, akkor többnyire a hatványhalmazt használják eseményrendszernek. Ekkor a teljes minden részhalmaza esemény.

Folytonos események[szerkesztés]

Ha folytonos eseményhalmaz, akkor nem választható a teljes hatványhalmaz eseményrendszernek. Ha ugyanis az elemek valószínűsége nulla lenne, akkor minden valószínűség nulla lenne, a teljes is, ami ellentmondás. Ezért többnyire a Borel-σ-algebrát választják. Ezt az alakú nyílt intervallumok, vagy ezek direkt szorzatai (téglák) generálják, ahol . Ezt azért kedvelik, mivel mindent tartalmaznak, amiket értelmesen definiálni tudunk, tehát minden nyílt, zárt halmaz, diszkrét ponthalmazok is benne vannak, és események. Ezzel nem választják ki az összes részhalmazt sem, erre a Vitali-halmazok adnak ellenpéldát.

Halmazműveletek eseményekkel[szerkesztés]

Ha egy véletlen kísérlet eredménye, akkor minden olyan esemény bekövetkezett, amire , ahol esemény.

Tartalmazás, egyenlőség[szerkesztés]

Ha és események, és tartalmazza az eseményt (), akkor valahányszor bekövetkezik , bekövetkezik is. Ezt úgy is mondják, hogy következménye. A valószínűségekre teljesül, hogy , azaz ha maga után vonja a eseményt, akkor valószínűsége legalább akkora, mint valószínűsége.

Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha és . Ekkor maga után vonja a eseményt, és maga után vonja az eseményt.

Metszet, diszjunktság[szerkesztés]

Ha és események, akkor metszetük is esemény, mivel a σ-algebra zárt a metszetre. Az esemény pontosan akkor következik be, ha és is bekövetkerzik.

Ha , akkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Kizáró események, diszjunkt események, amelyek kizárják egymás bekövetkeztét.

Általában, ha események, akkor az

metszet is esemény, ami akkor következik be, ha mindegyike bekövetkezik. Az események páronként diszjunktak, ha minden , esetben.

Unió[szerkesztés]

Az és események egyesítése is esemény, mivel a σ-algebra zárt az egyesítésre. Ez pontosan akkor következik be, ha vagy bekövetkezik, akár mind a kettő egyszerre. Másként, bekövetkezik, ha az és események közül legalább egy bekövetkezik. A valószínűségekre adódik, hogy

Speciálisan a diszjunkt unió .

Általában, ha események, akkor az

egyesítés az az esemény, ami bekövetkezik, ha legalább egy esemény bekövetkezik.

Teljesül a σ-szubadditivitás:

Páronként diszjunkt esetben egyenlőséggel.

Tetszőleges véges sok esemény uniójának valószínűsége a szitaformulával számítható.

Teljes eseményrendszer[szerkesztés]

A teljes eseményrendszer páronként diszjunkt események egy családja, amelynek uniója a teljes alaphalmazt kiadja.Nevezik diszjunkt felbontásának, partíciójának is. Ekkor a véletlen kísérlet eredménye szerint egy, és csak egy esemény következik be a teljes eseményrendszerből.

Komplementer esemény[szerkesztés]

Az komplementer esemény pontosan akkor következik be, ha az esemény nem következik be. Jelölése vagy . Valószínűsége

A metszet- és az unióesemények komplementerére is teljesülnek a halmazelméleti De Morgan-szabályok:

Speciálisan, két eseményre illetve .

Különbség[szerkesztés]

Az különbség vagy differencia akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem. Teljesül, hogy

A differencia valószínűségének becslése:

Speciálisan, ha , akkor

.

Szimmetrikus differencia[szerkesztés]

Az esemény akkor következik be, ha vagy egyike, és csakis egyike bekövetkezik. A szimmetrikus differencia írható úgy is, mint:

A valószínűség becslése

Függetlenség[szerkesztés]

Ha és események, akkor függetlenek, ha

A feltételes valószínűséggel kifejezve

feltéve, hogy . Szimmetriára hivatkozva kiterjeszthető, de két lehetetlen esemény függetlenségét akkor is külön kell kimondani.

Általában, események egy családja független, ha minden véges indexhalmazra fennáll:

Páronként függetlenek, ha

minden indexre. A függetlenségből következik a páronkénti függetlenség, de ha kettőnél több esemény van, akkor fordítva már nem.

Elemi események[szerkesztés]

Az egyelemű eseményhalmazokat elemi eseményeknek nevezik. Diszkrét esetben az események valószínűsége kiszámítható az elemi esemény részhalmazainak segítségével:

Ekkor úgy kell választani a -t, hogy teljesüljön

és

Előfordulhat, hogy néha az egyes elemeket nevezik elemi eseményeknek. Ez pontatlan, mivel elemei elemei, és nem részhalmazai, így nem is események. Továbbá lehet olyan meghatározás, amiben egyes egyelemű részhalmazok nem események. Mindenesetre ezzel a szóhasználattal is az egyelemű halmazra gondolnak, csak nem mondják ki.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.