Esemény (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valószínűségszámításban az esemény egy absztrakt fogalom, amelyhez egy kísérlet kimenetelétől függően hozzárendelhető az az ítélet, hogy az adott esemény bekövetkezett-e vagy sem.[1] Az ugyanazon kísérlet eredményével kapcsolatos események összessége az eseményalgebra. Például a "dobókockával páros számot dobni" esemény a kockadobás eseményeiből álló eseményalgebra azon eseménye, amelyben számok közül a számok valamelyike lett a dobás eredménye. Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely a kísérlet bármilyen kimenetele esetén bekövetkezik, lehetetlen eseménynek hívjuk azt az eseményt, amely a kísérlet kimenetelétől függetlenül soha nem következik be.

Relációk eseményeken[szerkesztés]

Egy eseményalgebra két, és eseménye egyenlő, ha az eseményalgebrához tartozó kísérlet bármely kimenetele esetén vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem.[2]

Azt mondjuk, hogy egy eseményalgebra maga után vonja a eseményt, ha az eseményalgebrához tartozó kísérlet bármely kimenetele esetén bekövetkezik a esemény is, amennyiben az esemény bekövetkezett.[3] Jelölése:

Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha és . Azaz az maga után vonja a eseményt, és a maga után vonja az eseményt.[4]

esetén a valószínűségekre teljesül, hogy , azaz ha maga után vonja a eseményt, akkor valószínűsége legalább akkora, mint valószínűsége.

Műveletek eseményekkel[szerkesztés]

Ha egy véletlen kísérlet eredménye, akkor minden olyan esemény bekövetkezett, amire , ahol esemény.

Metszet, diszjunktság[szerkesztés]

Ha és események, akkor metszetük is esemény, mivel a σ-algebra zárt a metszetre. Az esemény pontosan akkor következik be, ha és is bekövetkerzik.

Ha , akkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Kizáró események, diszjunkt események, amelyek kizárják egymás bekövetkeztét.

Általában, ha események, akkor az

metszet is esemény, ami akkor következik be, ha mindegyike bekövetkezik. Az események páronként diszjunktak, ha minden , esetben.

Unió[szerkesztés]

Az és események egyesítése is esemény, mivel a σ-algebra zárt az egyesítésre. Ez pontosan akkor következik be, ha vagy bekövetkezik, akár mind a kettő egyszerre. Másként, bekövetkezik, ha az és események közül legalább egy bekövetkezik. A valószínűségekre adódik, hogy

Speciálisan a diszjunkt unió .

Általában, ha események, akkor az

egyesítés az az esemény, ami bekövetkezik, ha legalább egy esemény bekövetkezik.

Teljesül a σ-szubadditivitás:

Páronként diszjunkt esetben egyenlőséggel.

Tetszőleges véges sok esemény uniójának valószínűsége a szitaformulával számítható.

Komplementer esemény[szerkesztés]

Az komplementer esemény pontosan akkor következik be, ha az esemény nem következik be. Jelölése vagy . Valószínűsége

A metszet- és az unióesemények komplementerére is teljesülnek a halmazelméleti De Morgan-szabályok:

Speciálisan, két eseményre illetve .

Különbség[szerkesztés]

Az különbség vagy differencia akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem. Teljesül, hogy

A differencia valószínűségének becslése:

Speciálisan, ha , akkor

.

Szimmetrikus differencia[szerkesztés]

Az esemény akkor következik be, ha vagy egyike, és csakis egyike bekövetkezik. A szimmetrikus differencia írható úgy is, mint:

A valószínűség becslése

Teljes eseményrendszer[szerkesztés]

A teljes eseményrendszer páronként diszjunkt események egy családja, amelynek uniója a teljes alaphalmazt kiadja.Nevezik diszjunkt felbontásának, partíciójának is. Ekkor a véletlen kísérlet eredménye szerint egy, és csak egy esemény következik be a teljes eseményrendszerből.

Összetett események, elemi események[szerkesztés]

Az egyelemű eseményhalmazokat elemi eseményeknek nevezik. Diszkrét esetben az események valószínűsége kiszámítható az elemi esemény részhalmazainak segítségével:

Ekkor úgy kell választani a -t, hogy teljesüljön

és

Előfordulhat, hogy néha az egyes elemeket nevezik elemi eseményeknek. Ez pontatlan, mivel elemei elemei, és nem részhalmazai, így nem is események. Továbbá lehet olyan meghatározás, amiben egyes egyelemű részhalmazok nem események. Mindenesetre ezzel a szóhasználattal is az egyelemű halmazra gondolnak, csak nem mondják ki.

Függetlenség[szerkesztés]

Ha és események, akkor függetlenek, ha

A feltételes valószínűséggel kifejezve

feltéve, hogy . Szimmetriára hivatkozva kiterjeszthető, de két lehetetlen esemény függetlenségét akkor is külön kell kimondani.

Általában, események egy családja független, ha minden véges indexhalmazra fennáll:

Páronként függetlenek, ha

minden indexre. A függetlenségből következik a páronkénti függetlenség, de ha kettőnél több esemény van, akkor fordítva már nem.

Példák[szerkesztés]

Kockadobás[szerkesztés]

Kísérlet: Egy szabályos dobókockát feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

A kockadobás eredménye lehet 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os, így ebben a kísérletben . Ekkor , azaz az eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha kettest dobunk és az is ha páratlan számot, de esemény az is ha ötnél kisebb számot.

Érmedobás[szerkesztés]

Kísérlet: Egy szabályos pénzérmét feldobunk és megvizsgáljuk, hogy milyen értékeket kaphatunk eredményül.

Az érmedobás eredménye lehet fej vagy írás, így ebben a kísérletben . Ekkor , azaz az eseménytér minden részhalmaza esemény. Például esemény az, ha fejet dobunk és az is ha írást. Az is esemény ha fejet vagy írást dobunk.

Diszkrét események[szerkesztés]

Ha diszkrét eseményhalmaz, azaz legfeljebb megszámlálható végtelen eleme van, akkor többnyire a hatványhalmazt használják eseményrendszernek. Ekkor a teljes minden részhalmaza esemény.

Folytonos események[szerkesztés]

Ha folytonos eseményhalmaz, akkor nem választható a teljes hatványhalmaz eseményrendszernek. Ha ugyanis az elemek valószínűsége nulla lenne, akkor minden valószínűség nulla lenne, a teljes is, ami ellentmondás. Ezért többnyire a Borel-σ-algebrát választják. Ezt az alakú nyílt intervallumok, vagy ezek direkt szorzatai (téglák) generálják, ahol . Ezt azért kedvelik, mivel mindent tartalmaznak, amiket értelmesen definiálni tudunk, tehát minden nyílt, zárt halmaz, diszkrét ponthalmazok is benne vannak, és események. Ezzel nem választják ki az összes részhalmazt sem, erre a Vitali-halmazok adnak ellenpéldát.

Források[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Rényi 15. old.
  2. Rényi 15. old.
  3. Rényi 20-21. old.
  4. Rényi 21. old.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.