Általánosított sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az általánosított sűrűségfüggvény speciális tulajdonságú valós értékű függvény, ami főként a valószínűségszámításban és a mértékelméletben fordul elő, ahol mértékeket vagy előjeles mértékeket konstruálnak vele. Anélkül lehet vele mértékeket konstruálni, hogy mélyebben belenyúlnánk a mértékelméletbe. Általában a valószínűségi sűrűségfüggvényt nevezik egyszerűen sűrűségfüggvénynek.

Definíció[szerkesztés]

Adva legyen , és az -kváziintegrálható függvény. Ekkor az

minden halmazra

függvény mérték, és ennek a sűrűségfüggvénye.

Megfordítva, legyenek és mértékek -ben. Ha

egy kváziintegrálható függvényre, és minden halmazra, akkor a mérték mértékre vonatkozó sűrűségfüggvénye. Ezt a függvényt nevezik Radon-Nikodým-deriváltnak és Radon-Nikodým-sűrűségnek is, és úgy jelölik, mint .

Előjeles mértékek esetén a definíció hasonló, de a pozitív tulajdonság mellőzésével.

Példák[szerkesztés]

Valószínűségi sűrűségfüggvény[szerkesztés]

Az általánosított sűrűségfüggvényekre példa a valószínűségi sűrűségfüggvény. Itt a mérték a Lebesgue-mérték és a Lebesgue-integrál mértéke, ahol is az alaptér mértéke egy. Egy függvény megadása egyszerű lehetőség a valószínűségi mérték definiálására:

Az így definiálható valószínűségi mértékek abszolút folytonos valószínűségi mértékek. Lehetővé teszik az elemi hozzáférést a valószínűségszámításhoz, gyakran a Lebesgue-integrál alkalmazásáról is lemondanak, megelégednek a Riemann-integrállal. Ekkor a jelölés helyett .

Számsűrűség[szerkesztés]

A sűrűségfüggvény további példái a számsűrűségek, amiket valószínűségi függvényeknek is neveznek. A legegyszerűbb esetben minden természetes számhoz egy nemnegatív számot rendelnek:

.

Az összes függvényérték összege egy, és valószínűségek definiálhatók hozzájuk:

amik egy diszkrét valószínűségi eloszlás valószínűségei. Ha a számossági mérték -en, akkor

.

Ezzel a számsűrűség sűrűségfüggvény a számosságra nézve.

Létezés[szerkesztés]

Definíció szerint minden pozitív kváziintegrálható függvény, mérték páros meghatároz egy újabb mértéket, ami sűrűségfüggvényt vezet be.

Két mérték esetén adódik a kérdés, hogy ha mérték, és abszolút folytonos a mértékre, akkor létezik-e sűrűségfüggvénye a mértéknek a mértékre vonatkozóan, vagy fordítva. Ennek a kérdésnek az első felét a Radon-Nikodým-tétel igenlően válaszolja meg.

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.