Centrális momentum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Egy valószínűségi változó centrális momentumai vagy centrált momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E((XE(X))k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli. Ha nincs várható érték, mint a Cauchy-eloszlás esetén, akkor centrális momentumok sincsenek.

Az X valószínűségi változó k-adik centrális momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől, vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E((XE(X))k)-t. Bizonyos – főként régebbi – könyvekben találkozhatunk a μk = E((XE(X))k) jelöléssel, míg más könyvekben ugyanezzel a momentumot jelölik, s mk-val jelölik a centrális momentumot. Egyaránt definiálhatók egy- és többváltozós eloszlásokra.

Egyváltozós momentumok[szerkesztés]

Abszolút folytonos eloszlás esetén, ha f(x) a sűrűségfüggvény, akkor az n-edik centrális momentum

[1]

Az első néhány momentumnak intuitív értelmezése van:

  • A nulladik centrális momentum μ0 = 1.
  • Az első centrális momentum nem a várható érték, hanem μ1 = 0.
  • A második centrális momentum μ2 = σ2, szórásnégyzet vagy variancia.
  • A harmadik és a negyedik centrális momentumokat a ferdeség és a lapultság kiszámításához használják.

Tulajdonságok[szerkesztés]

A centrális momentumok eltolásinvariánsak, azaz minden X valószínűségi változóra és c tetszőleges konstansra

Minden n-re, az n-edik centrális momentum n-edfokban homogén:

Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor az X és Y független változók esetén a momentum additív:

ha n ∈ {1, 2, 3}.

Az eltolásinvarianciát és additivitást n ≥ 4 esetén az n-edik kumuláns őrzi meg, aminek jele κn(X).

  • n = 1 esetén a kumuláns a várható érték.
  • n = 2 vagy 3 esetén a kumuláns megegyezik a megfelelő centrális momentummal.
  • n ≥ 4 esetén a kumuláns az első n momentum (a nulladik nélkül) n-edfokú polinomja, és az első n centrális momentumnak is n-edfokú polinomja.

A centrális és a nem centrális momentumok kapcsolata[szerkesztés]

Néha kényelmesebb nem centrális momentumok helyett centrális momentumokkal számolni. A centrális momentumra való áttérés egyenlete:

ahol μ a várható érték. Megfordítva, a nem centrális momentum:

Az n = 2, 3, 4 esetben ez így módosul:

hagyományosabb jelöléssel a szórásnégyzet

Továbbá

Az együtthatók a Pascal-háromszög alapján adhatók meg,[2]

mivel

Legyen egy valószínűségi változó, ami megkapható néhány azonos eloszlású független valószínűségi változó összegeként:

ahol szintén valószínűségi változó, és független az Yi valószínűségi változóktól, de eloszlása különbözhet azokétól. Ekkor momentumai:[3]

ahol ha .

Szimmetrikus eloszlások[szerkesztés]

A szimmetrikus eloszlások páratlan rendű centrális momentumai nullák, mivel az összegben a várható értéknél kisebb értékekből számított tagok és a várható értéknél nagyobb értékekből számított tagok kiejtik egymást.

Többdimenziós centrális momentumok[szerkesztés]

Egy kétváltozós közös eloszlás (j,k)-adik centrális momentumai, ha a közös sűrűségfüggvény f(x,y):

További momentumok[szerkesztés]

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

Megjegyzések[szerkesztés]

  • A k-adik centrális momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű centrális momentumot is használni.
  • Látható, hogy a második centrális momentum azonos a szórásnégyzettel, vagyis a centrális momentum tekinthető a szórásnégyzet általánosításának is.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Probability and Random Processes. Oxford, England: Oxford University Press (2009). ISBN 978 0 19 857222 0 
  2. http://mathworld.wolfram.com/CentralMoment.html
  3. (2006) „The moments and central moments of a compound distribution”. European Journal of Operational Research 170, 106–119. o. DOI:10.1016/j.ejor.2004.06.012.  

Források[szerkesztés]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Central moment című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.