Szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség szerint, ha nemnegatív valós számok, akkor szimmetrikus közepeik csökkenő sorrendben helyezkednek el:

ahol -re

továbbá a k-adik elemi szimmetrikus polinom, azaz

a számainkból készíthető összes k-tényezős szorzat összege.

Ha a számok pozitívak, akkor egyenlőség csak akkor van, ha minden szám egyenlő, más szóval, ha van két különböző értékű, akkor

Mivel és az egyenlőtlenség egyszerűen a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Bizonyítása[szerkesztés]

Két speciális eset[szerkesztés]

Egyszerűen beláthatjuk az és az egyenlőtlenségeket.

Az utóbbihoz vegyük szemügyre -et. Ez egy n tagú összeg, aminek tagjai az -ből készíthető összes -tényezős szorzatok. Számaink mindegyike pontosan -szer szerepel, ezért szorzatuk

Ha alkalmazzuk ezekre a szorzatokra a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, akkor azt kapjuk, hogy

azaz

és itt a bal oldal , a jobb oldal .

Nézzük a másik egyenlőtlenséget, -t! Ez négyzetreemelve és felszorozva az

alakra hozható. Legyen . Ekkor

amit a fenti egyenlőtlenségbe beírva

adódik. Ha ezt rendezzük, akkor azt kapjuk, hogy

azaz

ami nem más, mint a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség.

Az általános eset[szerkesztés]

A tételt általában n-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. A fenti esetek megadják a tételt n=2-re és n=3-ra. Tegyük fel, hogy és tudjuk a tételt n-1-re. Adott számainkból készítsük el a

polinomot, ennek tehát (multiplicitással számolva) pontosan n gyöke van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések miatt p(x) szokásos polinomformájában

alakú. Deriváltja

A Rolle-tétel egy következménye miatt -nek (multiplicitással számolva) n-1 valós gyöke van, , ezek az -k legkisebbike és legnagyobbika közé esnek, tehát nemnegatívak. Ezekkel így írható fel:

ahol a számok elemi szimmetrikus polinomjai. Együttható-összehasonlítással adódik -re. Mivel n-1-re már tudjuk a tétel állítását,

teljesül -re. Viszont

mivel

és ez adja -et -re. A megmaradó, esetet a fentiekben már beláttuk.

A fenti bizonyítás adja az

egyenlőtlenséget is. Ebből ismét levezethető a tétel, hiszen, -t fentebb láttuk, ezután indukcióval adódik : ha -re tudjuk akkor a fentiek szerint , innen

Innen a kívánt eredmény -edik gyökvonással adódik.