Rolle-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben a Rolle-tétel vagy Rolle-féle középértéktétel az egyik fontos és gyakran alkalmazott tétel, ami egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény „vízszintes” érintőjének (azaz a derivált zérushelyének) létezésére ad elégséges feltételt.

A tétel[szerkesztés]

Ábra Rolle tételéhez

Ha az függvény folytonos az intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és

,

akkor van olyan szám, hogy

teljesül.

Bizonyítása[szerkesztés]

Ha az függvény az intervallumon végig az értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0.

Tegyük fel, hogy egy pontban értéke ettől eltér. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb -nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a függvényre kell alkalmaznunk). A Weierstrass-tétel szerint a függvény az intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen egy ilyen pont. nem lehet -val vagy -vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond maximális tulajdonságának. Mivel a -ben (mely az értelmezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel miatt ott a deriváltja 0.

Általánosításai[szerkesztés]

A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.

Tétel – Az f : R intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ξ pont, hogy f '( ξ ) = 0, feltéve, hogy létezik az limα f és limβ f határérték és limα f = limβ f , ahol α és β a két végpontja.

Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy minden x ∈ int( ) belső pont esetén f '(x) > 0 vagy f '(x) < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden x ∈ int( )-re f '(x) > 0 vagy minden x ∈ int( )-re f '(x) < 0, ugyanis ha lenne a < b int( )-beli elem, hogy f '(a) és f '(b) ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a Darboux-tételt alkalmazva lenne olyan c pont az [a,b] zárt halmazon, hogy f '(c) = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben f az int( ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy limα f = limβ f, tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk.

Ilyen például az

függvény.

Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.

Tétel – Ha az f : [a,b]R korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy f(a) = f(b) és az I minden belső pontjában vagy differenciálható f, vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ξ ∈ int( ) pont, hogy f '( ξ ) = 0.

Ilyen például a [-2,2]-n értelmezett

függvény.

A tétel fontos általánosítása még a Lagrange-féle középértéktétel is, mely (a tétel jelöléseivel)

meredekségű érintő létezésére ad elégséges feltételt (f(b)=f(a) esetén persze megkapjuk a Rolle-tételt).

Források[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Rolle-tétel témájú médiaállományokat.