Minkowski-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben a Minkowski-egyenlőtlenség lényegében azt mutatja, hogy az Lp tér normált vektortér. Legyen S egy mértéktér, legyen 1 ≤ p ≤ ∞, és legyenek f és g az Lp(S) elemei. Ekkor f + g is Lp(S)-ben van, és a következőt kapjuk

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 1<p<∞, és f és g lineárisan függők.

A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a háromszög-egyenlőtlenség az Lp(S)-ben.

A Hölder-egyenlőtlenséghez hasonlóan, a Minkowski-egyenlőtlenséget f =(x1, x2, ...,xn)-re és g=(y1, y2, ...,yn)-re felírva, ha a p-normában a számlálómérték szerint integrálunk, sorozatokra és vektorokokra vonatkozó állítást kapunk:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

ahol x1, …, xn, y1, …, yn tetszőleges valós vagy komplex számok.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Először bebizonyítjuk, hogy, ha f-nek és g-nek is van véges p-normája, akkor f+g-nek is, ami következik az alábbi egyenlőtlenségből:

|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)

Ez az egyenlőtlenség teljesül, felhasználva hogy h(x)=x^p függvény a nemnegatív számokon konvex \mathbb{R}^+-ben (feltéve, hogy p nagyobb mint egy), a konvexitás definicióját felírva, és alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget:

\left|\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} g\right|^p \le \frac{1}{2}|f|^p + \frac{1}{2} |g|^p

Ez azt jelenti, hogy

|f+g|^p \le 2^{p-1}|f|^p + 2^{p-1}|g|^p

Most már jogosan beszélhetünk (\|f + g\|_p)-ról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy (\|f + g\|_p) nem nulla. Felhasználva a Hölder-egyenlőtlenséget

\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu
 \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}
= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}

Most már megkapjuk a Minkowski-egyenlőtlenséget, ha beszorozzuk mindkét oldalt \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p} -val.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities, Reprint of the 1952 edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, xii+324. o. ISBN 0-521-35880-9 (1988) 
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104