Minkowski-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben a Minkowski-egyenlőtlenség lényegében azt mutatja, hogy az Lp tér normált vektortér. Legyen S egy mértéktér, legyen 1 ≤ p ≤ ∞, és legyenek f és g az Lp(S) elemei. Ekkor f + g is Lp(S)-ben van, és a következőt kapjuk

egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha 1<p<∞, és f és g lineárisan függők.

A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a háromszög-egyenlőtlenség az Lp(S)-ben.

A Hölder-egyenlőtlenséghez hasonlóan, a Minkowski-egyenlőtlenséget f =(x1, x2, ...,xn)-re és g=(y1, y2, ...,yn)-re felírva, ha a p-normában a számlálómérték szerint integrálunk, sorozatokra és vektorokokra vonatkozó állítást kapunk:

ahol x1, …, xn, y1, …, yn tetszőleges valós vagy komplex számok.

Bizonyítás[szerkesztés]

Először bebizonyítjuk, hogy, ha f-nek és g-nek is van véges p-normája, akkor f+g-nek is, ami következik az alábbi egyenlőtlenségből:

Ez az egyenlőtlenség teljesül, felhasználva hogy függvény a nemnegatív számokon konvex -ben (feltéve, hogy p nagyobb mint egy), a konvexitás definícióját felírva, és alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget:

Ez azt jelenti, hogy

Most már jogosan beszélhetünk -ról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy nem nulla. Felhasználva a Hölder-egyenlőtlenséget

Most már megkapjuk a Minkowski-egyenlőtlenséget, ha beszorozzuk mindkét oldalt -val.

További információk[szerkesztés]

  • Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities, Reprint of the 1952 edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, xii+324. o. ISBN 0-521-35880-9 (1988) 
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104