Cauchy–Riemann-egyenletek

A matematikai analízisben Cauchy–Riemann-egyenleteknek az

$${\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{matrix}}$$

egyenleteket nevezzük, ahol u(x,y) és v(x,y) nyílt halmazon értelmezett, R-be képező parciálisan differenciálható kétváltozós valós függvények.

A C–R-egyenletek jelentőségére Riemann mutatott rá, amikor igazolta, hogy egy f = u + iv komplex függvény akkor és csak akkor differenciálható komplex módon egy z = x + i y pontban, ha

1. f totálisan differenciálható az (x,y) pontban mint kétváltozós függvény és

2. az u, v komponensfüggvények teljesítik a C–R-egyenleteket az (x,y) pontban.

Geometriai kényszer

Az f:C $\rightarrow$ C holomorf függvény esetén f = f₁ + if₂ komplex differenciálhatósága a z = x + i y pontban a

$f'(z)=\lim _{w\rightarrow 0}{\frac {f(z+w)-f(z)}{w}}\in \mathbf {C}$

komplex határérték létezését (a komplex derivált létezését) jelenti. Az f = f₁ + i f₂ komplex függvény felfogható f=(f₁,f₂ ): R² $\rightarrow$ R² függvényeknek is. A kérdés, hogy az f kétváltozós függvény

$Df(x,y)={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}(x,y)}{\partial x}}&{\cfrac {\partial f_{1}(x,y)}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial f_{2}(x,y)}{\partial x}}&{\cfrac {\partial f_{2}(x,y)}{\partial y}}\end{pmatrix}}$

Jacobi-mátrixának (deriválttenzorának) létezése milyen kapcsolatban van az f ' (z) komplex derivált létezésével.

Df(x,y) egy, a valós test feletti R² $\rightarrow$ R² lineáris leképezés. Egy ilyen, valós test feletti, A lineáris operátor pontosan akkor komplex test feletti lineáris operátor, ha minden (x,y) vektorra ${\textbf {A}}{\Big (}i\cdot (x,y){\Big )}=i\cdot {\textbf {A}}{\Big (}(x,y){\Big )}$ . Lineáris leképezés révén ezt a feltételt elegendő a két szokásos bázisvektorra felírni: (1,0) ∈ R²-re és (0,1) ∈ R²-re. Már csak azt kell felhasználnunk, hogy az i-vel való szorzás R²-ben megfelel az ${\textbf {M}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ mátrixszal való szorzásnak. Tehát a fenti feltétel ekvivalens az ${\textbf {A}}{\textbf {M}}={\textbf {M}}{\textbf {A}}$ egyenlőséggel. A Jacobi-mátrixra alkalmazva ezt az egyenlőséget pont a C–R-egyenleteket kapjuk.

A komplex derivált kiszámítása

Az eredményhez a komplex derivált definíciójából is eljuthatunk, ha mindkét tengely irányából közelítve adjuk meg a derivált értékét. Legyen

f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

és komplex differenciálható z-ben. Ekkor

$f'(z)\,$	$=\lim _{w\rightarrow 0}{f(z+w)-f(z) \over w}$
	$=\lim _{w\rightarrow 0}{u(x+w,y)+iv(x+w,y)-[u(x,y)+iv(x,y)] \over w}$
	$=\lim _{w\rightarrow 0}{[u(x+w,y)-u(x,y)]+i[v(x+w,y)-v(x,y)] \over w}$
	$=\lim _{w\rightarrow 0}{\left[{\frac {u(x+w,y)-u(x,y)}{w}}+i{\frac {v(x+w,y)-v(x,y)}{w}}\right]}.$

Kifejeztük tehát a deriváltat a parciális deriváltakkal:

$f'(z)={\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}.$

Hasonlóképpen:

$f'(z)={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.$

A két irányból kapott értékeknek meg kell egyezniük, így

${\partial u \over \partial x}+i{\partial v \over \partial x}={\partial v \over \partial y}-i{\partial u \over \partial y}.$

Két komplex szám pedig akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és imaginárius részeik rendre egyenlők:

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.$