Laplace-operátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Laplace-operátor (jele: Δ) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.

Hasonló operátor: nabla operátor (jele: ∇)

Általában[szerkesztés]

Skalármező Laplace-operátora:

Vektormezőre:

A div, rot és grad divergencia, rotáció és gradiens invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

a definíció alapján.

Ahol a nabla operátor.

Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.

Egy dimenzióban[szerkesztés]

Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:

.

Két dimenzióban[szerkesztés]

Az kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:

derékszögű koordinátákban:

polárkoordinátákban:

vagy

Három dimenzióban[szerkesztés]

A háromváltozós függvényre adódik

derékszögű koordináta-rendszerben

hengerkoordinátákban

az gömbi koordinátákkal

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható: vagy akár .

A Laplace-operátor Green-függvénye mit .

Ekkor teljesül: , ahol a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.

Megjegyzések[szerkesztés]

A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.

Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.

Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele .

A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.

Tulajdonságok[szerkesztés]

A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha kétszer differenciálható és forgatómátrix, akkor

,

ahol „“ a függvénykompozíciót jelöli.

Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens

Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás[szerkesztés]

A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Agn és gnm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:

1D-szűrő:
2D-szűrő:

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:

2D-Filter:

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.

Laplace-Beltrami-operátor[szerkesztés]

Értelmezése[szerkesztés]

A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace-Beltrami-operátor.

Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.

Az sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező -en.

Az sokaság minden pontjában fennáll a érintővektorra:

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.

A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A -k a metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát , ahol a Kronecker-delta.

Az X vektormező divergenciája az sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek Lie-deriváltjával

Ha a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint

Itt a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.

A -k a

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.

Helyi koordinátákban

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:

.

Alakjai[szerkesztés]

A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre , azért adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.

A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra és , a gömbi koordinátákra pedig .

A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:

.

A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:

.

Alkalmas f és h függvényekre:

.


Források[szerkesztés]

  • Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995