Dirac-egyenlet

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Matematikai forma

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

$\left(\beta mc^{2}+c\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}{\hat {p}}{}_{k}\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}},\,$

ahol

m a részecske nyugalmi tömege,

c a fénysebesség,

${\hat {p}}$ az impulzus operátora,

$\hbar$ a redukált Planck-állandó,

x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4×4-es $\alpha _{k}$ és $\beta$ mátrixok, és $\psi$ a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, mint hogy önadjungáltak), továbbá antikommutálnak egymással és négyzetük a 4×4-es egységmátrix ($I_{4}$):

$\alpha _{k}^{2}=\beta ^{2}=I_{4},\,$

$\alpha _{j}\alpha _{k}=-\alpha _{k}\alpha _{j},\,$

$\alpha _{k}\beta =-\beta \alpha _{k},\,$

ahol j és k különböző indexek 1-től 3-ig. $\beta$ és $\alpha _{k}$ nem egyértelműen meghatározott, sokféleképpen meg lehet választani őket. Az egyes választásokat ábrázolásoknak vagy reprezentációknak nevezik.

Összevetve a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlet általános alakjával (amely $i\hbar \,d\psi /dt={\hat {H}}\psi$) látható, hogy a Dirac-féle elméletben a Hamilton-operátor

${\hat {H}}=\beta mc^{2}+c\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}{\hat {p}}{}_{k}.\,$

Kovariáns alak

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

$i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi =0,\,$

ahol a kétszer szereplő indexekre (μ = 0, 1, 2, 3) összegzünk, $\partial _{\mu }=({\frac {1}{c}}\partial _{t},\partial _{k})$ a négyesgradiens és $\gamma ^{\mu }$ 4×4-es mátrixok, melyeket gamma mátrixoknak vagy Dirac-mátrixoknak nevezünk. A gamma mátrixok és a $\beta$, $\alpha _{k}$ mátrixok közötti összefüggés a következő:

$\gamma ^{0}=\beta ,\qquad \gamma ^{k}=\beta \alpha _{k},\qquad \alpha _{k}=\gamma ^{0}\gamma ^{k}.\,$

A gamma mátrixok teljesítik a

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\,$

antikommutációs relációt, ahol $\eta ^{\mu \nu }$ a Minkowski-metrika inverze. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac-ábrázolás)

${\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2-es egységmátrix $I_{2}$ segítségével a következő alakban írhatók:

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{k}\\-\sigma _{k}&0\end{pmatrix}}.\,$

$\gamma ^{0}$ hermitikus, $\gamma ^{k}$ antihermitikus ($(\gamma ^{k})^{\dagger }=-\gamma ^{k}$).

A Dirac-egyenlet kovariáns alakja úgy áll elő a fenti alakból, hogy a jobb oldali tagot átvisszük a bal oldalra, megszorozzuk az egyenletet $-1/c$ -vel, alkalmazzuk rá a $\beta$ mátrixot, felhasználjuk, hogy $\beta ^{2}=I_{4}$, $\beta$-t és $\beta \alpha _{k}$-t helyettesítjük $\gamma ^{0}$-lal és $\gamma ^{k}$-val, ${\hat {p}}_{k}$ helyére beírjuk a $-i\hbar \partial _{k}$ kifejezést, és végül a $\partial _{\mu }$ négyesgradienst használva a deriváltakat tartalmazó tagokat az $i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi$ alakban írjuk.

Klein–Gordon-egyenlet

A Dirac-egyenlet megoldásai kielégítik a Klein–Gordon-egyenletet is:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.\,$

Ez látható az $(i\hbar \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+mc)(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =-\hbar ^{2}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -m^{2}c^{2}\psi$ azonosságból, amelyet a gamma mátrixok antikommutációs relációjának felhasználásával kaphatunk meg.

A Dirac-egyenlet megoldásainak ezen tulajdonságából következik, hogy a határozott energiájú és impulzusú megoldások (amelyek $\psi =w\exp(-ip_{\mu }x^{\mu }/\hbar )$ alakú síkhullám megoldások, ahol $p_{\mu }=(E/c,p_{k})$, $x^{0}=ct$ és $w$ négykomponensű komplex vektor) kielégítik a relativisztikus szabad részecskéket jellemző

$E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\,$

energia-impulzus relációt (amelyben $\mathbf {p} ^{2}=\sum _{k=1}^{3}p_{k}^{2}$).

Dirac-konjugálás

Legyen $\psi$ négykomponensű komplex (oszlop)vektor. $\psi$ Dirac-konjugáltja, amelyre a ${\bar {\psi }}$ jelölést használjuk,

${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},\,$

ahol ${}^{\dagger }$ a szokásos adjungálást jelöli. $\psi ^{\dagger }$ négykomponensű sorvektor, mivel az adjungálás transzponálásból és a mátrixelemek komplex konjugálásából áll. $\psi ^{\dagger }$-et $\gamma ^{0}$-lal jobbról megszorozva ismét sorvektort kapunk, ezért ${\bar {\psi }}$ is négykomponensű komplex sorvektor.

A Dirac-konjugálás mellett szokásos a Dirac-adjungálás elnevezés is.

A Dirac-egyenletre alkalmazva a Dirac-konjugálást és felhasználva, hogy

$(\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu },\,$

előáll a konjugált Dirac-egyenlet

$-i\hbar \partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }-mc{\bar {\psi }}=0.\,$

Valószínűségi áram

A $\psi$ hullámfüggvényből konstruálható egy olyan $j^{\mu }$ négyesáramsűrűség, amely divergenciamentes (megmaradó), ha $\psi$ megoldása a Dirac-egyenletnek, és amelynek a nulladik komponense ($j^{0}$) pozitív definit. $j^{\mu }$ explicit alakja

$j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .\,$

$j^{0}$-t valószínűségi sűrűségként értelmezzük, $cj^{k}$-t pedig valószínűségi áramsűrűségként. $j^{\mu }$ elnevezése valószínűségi négyesáramsűrűség, amit gyakran rövidítenek (szokásos például a valószínűségi áram név).

Ha $\psi$ elegendően gyorsan nullához tart a térbeli végtelenben, akkor a teljes valószínűség $\int _{\mathbb {R} ^{3}}j^{0}\,d^{3}\mathbf {x}$ véges, és $j^{\mu }$ divergenciamentessége ($\partial _{\mu }j^{\mu }=0$) miatt időben állandó.

$j^{0}$ pozitív definitsége a következőképp látható: figyelembe véve a Dirac-konjugált definícióját és azt, hogy $(\gamma ^{0})^{2}=I_{4}$,

$j^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi =|\psi _{1}|^{2}+|\psi _{2}|^{2}+|\psi _{3}|^{2}+|\psi _{4}|^{2},\,$

ahol $\psi _{1},\psi _{2},\psi _{3},\psi _{4}$ a $\psi$ négy komponensét jelöli. A jobb oldalon álló kifejezés nyilvánvalóan nemnegatív és csak akkor nulla, ha $\psi =0$.

$\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ bizonyításához szorozzuk be a Dirac-egyenletet balról ${\bar {\psi }}$-sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról $\psi$-vel, és vonjuk ki a kapott egyenleteket egymásból:

${\begin{aligned}0&={\bar {\psi }}(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi )-(-i\hbar \partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }-mc{\bar {\psi }})\psi \\&=i\hbar ({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )=i\hbar \partial _{\mu }({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ).\end{aligned}}\,$

Források

• J. D. Bjorken, S. D. Drell: Relativistic quantum mechanics. New York, NY : McGraw-Hill (1964)
• Geszti Tamás: Kvantummechanika. Typotex Kiadó, Budapest (2007)

Kapcsolódó szócikkek

• Kvantum-elektrodinamika
• Dirac-spinor
• Schrödinger-egyenlet
• Kontinuitási egyenlet
• Valószínűségi áramsűrűség

További információk

• P. A. M. Dirac: Theory of electrons and positrons. www.nobelprize.org (1933. december 12.) (Hozzáférés: 2025. szeptember 5.)