Dirac-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Matematikai forma[szerkesztés]

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

ahol:

m a részecske nyugalmi tömege
c a fénysebesség,
p az impulzus operátora,
a redukált Planck-állandó,
x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es és mátrixok, és a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:

ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.

Kovariáns alak[szerkesztés]

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

ahol a kétszer szereplő indexekre (μ = 0, 1, 2, 3) összegzünk, a négyesgradiens és gamma mátrixok vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a

antikommutációs relációt, ahol a Minkowski-metrika és a mátrixok Clifford-algebrát alkotnak (Dirac-algebra). A operátorokat mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2 egységmátrix segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a mátrixot

Valószínűségi áram megmaradása[szerkesztés]

Bevezetve a konjugált spinort

,

ahol ψ a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy

,

a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról -lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet

.

A Dirac-egyenletet balról -sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról -vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy

amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség

,

melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség

További információk[szerkesztés]