Valószínűségi amplitúdó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kvantummechanikában a valószínűségi amplitúdó egy komplex függvény, ami egy kvantumrendszer egy mérhető tulajdonságának valószínűsűgét ábrázolja (nem megadja, ld. lent). Például minden részecskének van olyan valószínűségi amplitúdója, ami a helyzetének a valószínűségét írja le, ezt az amplitúdót térbeli hullámfüggvénynek hívjuk, és ami a helykoordináták komplex értékű függvénye.

Valószínűségi sűrűség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy ψ valószínűségi amplitúdó estén a kapcsolódó valószínűségi sűrűség függvény ψ*ψ, ami egyenlő |ψ|2-tel. Ezt gyakran csak valószínűségi sűrűségnek hívjuk[megj 1], és sokszor normálás nélkül is használjuk.

Ha |ψ|2-nek az egész háromdimenziós téren vett integrálja véges, akkor lehet választani egy c normálást úgy, hogy ψ-t cψ-vel helyettesítve az integrál értéke 1 lesz. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a részecskét valamely V térfogatrészben van, |ψ|2-nek a V térfogatra vett integrálja. Ami a kvantummechanika koppenhágai értelmezése szerint azt jelenti, hogy ha megmérjük az illető valószínűségi amplitúdóhoz rendelt fizikai mennyiséget, akkor a mérés eredménye P(ε) valószínűséggel fog ε-ba esni:

 P(\epsilon)=\int_\epsilon^{} |\psi(x)|^2 dx

A nem négyzetesen integrálható valószínűségi amplitúdókat általában négyzetesen integrálható függvénysorok határfüggvényeként értelmezzük. Például egy síkhullámnak megfelelő valószínűségi amplitúdó a monokromatikus részecskeforrás 'nemfizikai' határesetének felel meg. Egy másik példa a rezonanciákat leíró Siegert-hullámfüggvényeké amelyek t\to\infty határafüggvényei egy időfüggő hullámcsomagnak, amit a rezonanciához közeli energián szórunk. Ezekben az esetekben P(ε) fenti definíciója még mindig érvényes.

A valószínűségek időbeli változását (ami példánkban megfelel annak, hogyan mozog a részecske) ψ amplitúdó nyelvén írjuk le és nem a |ψ|2 valószínűségén (ld. Schrödinger-egyenlet).

Valószínűségi áram[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valószínűségsűrűség időbeli változásának leírásához lehetséges a j valószínűségi fluxust vagy másképpen valószínűségi áramot (valójában áramsűrűséget) definiálni a következőképpen:

 \mathbf{j} = {\hbar \over m} \cdot {1 \over {2 i}} \left( \psi ^{*} \nabla \psi  - \psi \nabla \psi^{*} \right)  = {\hbar \over m} Im \left( \psi ^{*} \nabla \psi \right)

aminek a dimenziója (valószínűség)/(area*time) = r-2t-1.

A valószínűségi áram kielégíti a kvantum kontinuitási egyenletet, azaz:

 \nabla \cdot \mathbf{j} + { \partial \over \partial t} P(x,t) = 0

ahol P(x,t) a (probability)/(volume) = r-3 dimenziójú valószínűség sűrűség. Ez az egyenlet matematikailag a valószínűség megmaradási törvényével ekvivalens. Könnyű megmutatni, hogy sík hullámfüggvény, azaz

 | \psi \rang = A \exp{\left( i k x - i \omega t \right)}

esetén a valószínűségi áramot

 j(x,t) = |A|^2 {k \hbar \over m}

adja meg.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Max Born kapta megosztva az 1954-es fizikai Nobel-díjat ezért a munkáért.