Perdület

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A perdület, más néven impulzusnyomaték, vagy impulzusmomentum a klasszikus fizikában egy test forgási mozgásállapotát jellemző vektormennyiség.

Jele: L, mértékegysége a kgm2/s, vagy az ezzel ekvivalens Nms.

A kvantummechanikában az impulzusmomentum a hullámfüggvény forgatásokkal szembeni viselkedését leíró mennyiség. A nulla impulzusmomentum például azt jelenti, hogy a hullámfüggvény a forgatás során változatlan marad, azaz forgásszimmetrikus.

A klasszikus mechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy mozgó tömegpont adott pontra vonatkoztatott perdületét az alábbi kifejezés adja meg:  \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} , ahol  \mathbf{r} a tömegpont adott vonatkoztatási pontból mért helyvektora, és  \mathbf{p} a lendülete, azaz a tömeg és a sebesség szorzata. [1]

A vektorszorzat definíciója alapján az  \mathbf{r} , a  \mathbf{p} és az  \mathbf{L} vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, és az impulzusnyomaték nagysága a következő szerint számolható:

 L = {r}\cdot{p}\cdot\sin\theta_{r,p}, ahol  \theta_{r,p} a helyvektor és az impulzus által bezárt szög.

Több tömegpontból álló rendszer adott pontra vonatkoztatott teljes perdülete az egyes pontok perdületeinek vektori eredője:

 \mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} (\mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i)

Merev testek rögzített tengely körüli forgása esetén az impulzusnyomatékot a fenti vektorszorzat helyett egyszerűbb alakban is felírhatjuk:

 {L} = \Theta \cdot \omega , ahol \omega a forgás szögsebessége és \theta a test adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka.

A perdülettétel, azaz a perdület megváltozása és a forgatónyomaték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tömegpontra ható F erő τ forgatónyomatéka és a pont mozgásához tartozó p lendület illetve L perdület.

Legyen egy tömegpont esetén a rá ható  \mathbf{F} erő adott pontra vonatkozó forgatónyomatéka:  \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} , ahol a forgatónyomatékot az animáción  \mathbf{ \tau} -val jelölt helyett a szokásosabb  \mathbf M jelöli. A perdülettétel szerint a perdület megváltozását a forgatónyomaték okozza, és a perdület idő szerint deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal. Tehát: \mathbf \frac {dL}{dt}= \mathbf M .

A perdület megmaradásának törvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fentiek alapján, ha a forgatónyomatékok eredője nulla, akkor a perdület állandó:  \sum \mathbf M = 0 \rightarrow \mathbf \frac {dL}{dt}= 0 \rightarrow \mathbf L= \mathrm{const.} Ez a perdületmegmaradás törvénye.

Merev test forgásegyenlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Merev test tengely körüli forgásánál az impulzusnyomaték a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzata, ezért a perdület időbeli deriváltja a következő alakban is felírható:

 \frac {dL}{dt}=\frac {d(\theta\cdot\omega)}{dt}=\theta \frac {d\omega}{dt}=\theta \cdot\beta, ahol  \beta a test forgásához tartozó szöggyorsulás.

A perdülettétel ebben az esetben a test forgását leíró egyenlet, az úgynevezett forgásegyenlet is egyben:

 \theta \cdot\beta = M

Ha a forgatónyomatékok eredője zérus, akkor a szöggyorsulás is zérus, azaz a merev test állandó szögsebességgel forog:  M = 0 \rightarrow \beta = \frac {d\omega}{dt}= 0 \rightarrow \omega = \mathrm{const.}

A perdületmegmaradás alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A két ellentétes irányban ható, egyforma nagyságú Fg és -Fg erőből álló erőpár forgatónyomatéka merőleges a pörgettyű forgástengelyére, azaz pörgettyű perdületére. Mivel a perdület idő szerinti deriváltja megegyezik a forgatónyomatékkal, a perdület és ezzel a forgástengely iránya változik a forgatónyomaték irányában. Ezt hívjuk precessziónak.

Amikor egy forgásban levő korcsolyázó a lábait és a karjait behúzza a törzséhez, a mozdulat során csökken a tehetetlenségi nyomatéka. Mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, a perdületmegmaradás miatt a szögsebessége nőni fog, azaz forgása felgyorsul.

Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a fehér törpék, neutroncsillagok és fekete lyukak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból keletkeznek. Így egy csillag nagyságának 104-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 108-szorosával való növekedését eredményezi.

A perdület megmaradása miatt a Föld–Hold rendszer esetében a Hold által okozott dagály a Hold forgási sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.

Centrális erőtér és a perdületmegmaradás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Amennyiben a testre ható erők eredője centrális, azaz a test mozgása közben mindig egy adott pont felé mutat, akkor az erre a pontra vonatkoztatott forgatónyomaték zérus. Így az erre a pontra vonatkozó impulzusmomentum megmarad.

Impulzusnyomaték a tömegközépponti rendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több pontból álló rendszer esetén az impulzusnyomaték a tömegközéppont mozgásának ismeretében két részre bontható. [2] Magának a tömegközéppontnak a mozgásához tartozó pálya-impulzusmomentumra, és a rendszer tagjainak ehhez viszonyított mozgásához tartozó saját-impulzusmomentumra. Ez utóbbit nevezzük spinnek.

 \mathbf{L}_{\mathrm{teljes}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{palya}}

A relativisztikus mechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában a perdületet a lendülethez hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

 \hat{\mathbf{L}} =\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

 \hat{\mathbf{L}} = -i\hbar (\mathbf{r} \times \nabla) ,

ahol r a részecske helye, \nabla a gradiens operátor.

A perdület-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

 [L_i,L_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [L_i,L^2] =0

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

 \left[L_i,H\right]=0

A perdület-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordináta-rendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

 L^2 = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}

L2 és például Lz kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

 L^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle
 L_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

 \langle \theta, \phi| l,m\rangle = Y_{l,m}(\theta,\phi)

Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún, pályaperdület vagy pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Holics László: Fizika, Akadémiai Kiadó, 2011
  2. Tasnádi P., Skrapits L., Bérces Gy.: Mechanika I., Dialóg Campus Kiadó, 2004

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]