Tehetetlenségi nyomaték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése , Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle J\,} vagy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \Theta \, .

Áttekintés[szerkesztés]

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle I\,} skaláris alakot akkor használjuk, ha az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {\hat {n}} forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon -vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció[szerkesztés]

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát a

definiálja, ahol

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle m\,} a tömege és
a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle N\,} darab tömegű, a forgástengelytől egyenként sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): I{=}\ \sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}\,\!

Folytonos sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

ahol

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle V\,} a test térfogata,
a forgástengelytől mért távolság,
a tömeg,
a térfogat,
a test pontszerű sűrűségének függvénye és
, Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle y\,} , a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek[szerkesztés]

Nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

ahol

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle k\,} a testre jellemző tényező,
a test tömege és
Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle R\,} a test sugara a forgástengelytől mérve.

A tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

  • – vékony gyűrű vagy vékonyfalú henger geometriai tengelye körül forgatva
  • Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle k\,=2/5} – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva
  • Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle k\,=1/3} – vékony rúd egyik vége körül forgatva
  • – vékony rúd tengelye körül forgatva.

Párhuzamos tengelyek tétele[szerkesztés]

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

ahol

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle M\,} a merev test tömege,
az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{s}\, a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle R\,} a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia[szerkesztés]

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. számú, egyenként tömeggel rendelkező, sebességű pont Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): E_{k}\, mozgási energiája egyenlő:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): E_{k}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}\,\!

Egy merev testre, mely Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \omega \, szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): v_{i}=\omega r_{i}\,\! (omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle r_{i}\,} a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

És végül a végképletre írható:

Impulzusmomentum és nyomaték[szerkesztés]

Egy tömegpontokból álló rendszer impulzusmomentumát a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle p_{i}\,} impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle r_{i}\,} távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}

Az egységvektorral jellemzett forgástengely körül szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): \mathbf {v} _{i} sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {v} _{i}=\omega \mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {r} _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}

ahol

a szögsebességvektor Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\boldsymbol {\omega }}{=}\ \omega \mathbf {\hat {n}} és
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {r} _{i} a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {v} _{i} összefüggését az Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): \mathbf {L} definíciójába:

ahol felhasználtuk azt, hogy az vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} _{i}=0 .

Az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {N} nyomaték az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {L} impulzusmomentum változási sebessége:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {N} \ {=}\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}

Ha az tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az forgástengely körül forgatja a testet és így nem változik), írható:

ahol

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \alpha \, az úgynevezett szöggyorsulás az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {\hat {n}} tengely körül.

Megjegyezzük, ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle I\,} nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor[szerkesztés]

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró (Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle x\;} , és ) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{xx}=\; az tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{yy}=\; az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle y\;} tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
a tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció[szerkesztés]

Egy merev test Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle N\,} darab Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle m_{i}\,} tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}} .

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{xx}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\! ,
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{yy}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\! ,
Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): I_{zz}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\! ,
Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): I_{xy}=I_{yx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}y_{i}\,\! ,
és
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{yz}=I_{zy}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}y_{i}z_{i}\,\!

derékszögű Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): (x_{i},y_{i},z_{i})\, koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle I_{xx}\,} jelöli az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle x\,} -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az -tengely körül forog, Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle I_{xy}\,} jelöli az Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle y\,} -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle x\,} -tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {I} =\int _{V}\left[\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {\delta } -\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right]\ dm

ahol Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \left(\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)_{i,j}=\mathbf {r} _{i}\mathbf {r} _{j} és Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {\delta } \, a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra[szerkesztés]

Az skalár bármely tengelyre a tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I=\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}n_{j}I_{jk}n_{k}

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok[szerkesztés]

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{1}\, , és Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I_{3}\, állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}) .

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle m\,} -ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): {\displaystyle m>2\,} , akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tétel[szerkesztés]

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): \mathbf {R} \, helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): \mathbf {I} _{jk}^{\mathrm {displaced} }=\mathbf {I} _{jk}^{\mathrm {centroid} }+M\left[\delta _{jk}\,\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} -R_{j}R_{k}\right]

ahol a merev test tömege és Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): \delta _{jk}\, a Kronecker delta függvény.

Más mechanikai mennyiségek[szerkesztés]

A tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

ahol Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): L_{k}\ {=}\ I_{k}\omega _{k}

Értelmezés sikertelen (Átalakítási hiba. A szerver („https://hu.wikipedia.org/api/rest_”) a következőt jelentette: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle k=1,2,3\,} -re.

Meghatározása méréssel[szerkesztés]

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért távolságából és a test Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): m\, tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) /mathoid/local/v1/ szervertől:): I=mgd{\frac {T^{2}}{4\pi ^{2}}}

Lásd még[szerkesztés]

Forrás[szerkesztés]

  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Külső hivatkozások[szerkesztés]