Tehetetlenségi nyomaték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A tehetetlenségi nyomaték (SI egysége a kg m²), a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Vagyis a tehetetlenségi nyomaték a forgást végző merev test forgási tehetetlensége. Szokásos jelölése , vagy .

Áttekintés[szerkesztés]

Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül.

Analógia: A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával. A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték(vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Szemléltetésként vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

A tehetetlenségi nyomatéknak két alakja van, az egyiket, az skaláris alakot akkor használjuk, ha az forgás tengelyét ismerjük, a másik, általánosabb tenzor alakjához nem kell ismernünk a forgástengelyt. A skalár tehetetlenségi nyomatékot gyakran egyszerűen „tehetetlenségi nyomatéknak” nevezik. Nem szabad összetéveszteni a tehetetlenségi nyomatékot a (síkidomok) másodrendű nyomatékával, melyet azonos módon -vel jelölnek. A legegyszerűbben a mértékegységek alapján lehet őket egymástól megkülönböztetni.

Hasonlóképpen a tehetetlenségi nyomatékot nem szabad összekeverni a poláris másodrendű nyomatékkal, mely egy rúd csavarással szembeni ellenállásának mértéke.

Definíció[szerkesztés]

Egy tengely körül forgó tömegpont skalár tehetetlenségi nyomatékát a

definiálja, ahol

a tömege és
a forgástengelytől mért távolsága

A tehetetlenségi nyomaték additív, így egy darab tömegű, a forgástengelytől egyenként sugáron elhelyezett tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével

Folytonos sűrűségű merev test ismert forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatékát a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának integrálásával számíthatjuk ki:

ahol

a test térfogata,
a forgástengelytől mért távolság,
a tömeg,
a térfogat,
a test pontszerű sűrűségének függvénye és
, , a derékszögű koordináták.

Közelítő képletek[szerkesztés]

Nem pontszerű testek tehetetlenségi nyomatékát közelíteni lehet a következő egyszerű képlettel:

ahol

a testre jellemző tényező,
a test tömege és
a test sugara a forgástengelytől mérve.

A tényező értéke attól függ, milyen a test alakja, az sugár pedig a test legtávolabbi pontjának távolsága a forgástengelytől. Például:

  • – vékony gyűrű vagy vékonyfalú henger geometriai tengelye körül forgatva
  • – tömör gömb geometriai tengelye körül forgatva
  • – vékony rúd egyik vége körül forgatva
  • – vékony rúd tengelye körül forgatva.

Párhuzamos tengelyek tétele[szerkesztés]

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

ahol

a merev test tömege,
az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték,
a tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és
a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől.

Ezt a tételt Steiner-tételnek, vagy az angolszász irodalomban Huygens-Steiner-tételnek is nevezik.

Mozgási energia[szerkesztés]

A rendszer mozgási energiáját a tehetetlenségével lehet kifejezni. számú, egyenként tömeggel rendelkező, sebességű pont mozgási energiája egyenlő:

Egy merev testre, mely szögsebességgel forog, a sebességek így írhatók:

(omega dimenziója: rad/sec)

ahol ismét a tömegpont tengelytől mért távolsága. Ezzel a mozgási energia így írható:

És végül a végképletre írható:

Impulzusmomentum és nyomaték[szerkesztés]

Egy tömegpontokból álló rendszer impulzusmomentumát a impulzusából és a tömegpontnak a forgástengelytől számított távolságából a következőképpen lehet kiszámítani:

Az egységvektorral jellemzett forgástengely körül szögsebességgel forgó merev test tetszőleges pontjának sebességvektorára írható a következő vektoriális szorzat:

ahol

a szögsebességvektor és
a forgástengelyt a tömegponttal összekötő legrövidebb vektor.

Behelyettesítve a összefüggését az definíciójába:

ahol felhasználtuk azt, hogy az vektorok merőlegesek a forgástengelyre (például egy lendkeréknél): .

Az nyomaték az impulzusmomentum változási sebessége:

Ha az tehetetlenségi nyomaték állandó (vagy azért, mert a fő tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek vagy azért, mert a nyomaték az forgástengely körül forgatja a testet és így nem változik), írható:

ahol

az úgynevezett szöggyorsulás az tengely körül.

Megjegyezzük, ha nem állandó a külső koordináta-rendszerben (vagyis a szabad tengellyel rendelkező rendszer fő tehetetlenségi nyomatékai nem egyenlőek), a tehetetlenségi nyomatékot nem lehet a deriváltból kiemelni. Ez az eset a nyomatékmentes szabad precesszió.

Tehetetlenségi nyomaték tenzor[szerkesztés]

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró (, és ) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

az tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
az tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,
a tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció[szerkesztés]

Egy merev test darab tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

,
,
,
,
és

derékszögű koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt jelöli az -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az -tengely körül forog, jelöli az -tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az -tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

ahol és a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra[szerkesztés]

Az skalár bármely tengelyre a tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok[szerkesztés]

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a , és állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: .

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre -ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha , akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tétel[szerkesztés]

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

ahol a merev test tömege és a Kronecker delta függvény.

Más mechanikai mennyiségek[szerkesztés]

A tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

az impulzusmomentum pedig egyszeres skalár szorzatként:

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

ahol

-re.

Meghatározása méréssel[szerkesztés]

A műszaki gyakorlatban néha szükség van ismeretlen tömegeloszlású testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. Ehhez először meg kell határozni a merev test tömegközéppontjának helyét. Ezután a testet fel kell függeszteni és ki kell mozdítani nyugalmi helyzetéből. A test fizikai ingaként lengésbe jön. A lengésidőből, a tömegközéppontnak a felfüggesztési ponttól mért távolságából és a test tömegéből a tehetetlenségi nyomaték kiszámítható:

Lásd még[szerkesztés]

Forrás[szerkesztés]

  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.
  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Külső hivatkozások[szerkesztés]