Másodrendű nyomaték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A másodrendű nyomaték a síkidom jellemzője, melyet az ilyen keresztmetszetű rúd hajlítással szembeni ellenállásának és lehajlásának számítására használnak. Hasonló a szerepe hajlításnál, mint csavarásnál a poláris másodrendű nyomatéknak.

A másodrendű nyomaték nem tévesztendő össze a tehetetlenségi nyomatékkal, melyet dinamikai számításoknál használnak. Mérnökök sokszor tehetetlenségi nyomaték nevet használnak másodrendű nyomaték helyett, ami zavaró lehet. Hogy melyik fogalomról van szó, azt a mértékegységből könnyen meg lehet állapítani.

Definíció[szerkesztés]

A tengelyre számított másodrendű nyomaték(más szóval ekvatoriális másodrendű nyomaték):

ahol

  • = a másodrendű nyomaték az tengely körül
  • = egy elemi terület
  • = elem távolsága az tengelytől

Mértékegysége[szerkesztés]

A másodrendű nyomaték SI egysége méter a negyedik hatványon (m4).

Különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatéka (Lásd még Másodrendű nyomatékok listája más keresztmetszetekre.)

Téglalap keresztmetszet (x és y tengelyek a súlyponton mennek át)

  • = szélesség (x-irányban),
  • = magasság (y-irányban)
  • = szélesség (x-irányban),
  • = magasság (y-irányban)

Körkeresztmetszet[szerkesztés]

  • = sugár,
  • = átmérő

Steiner-tétel[szerkesztés]

A Steiner-tétel segítségével egy síkidom másodrendű nyomatéka határozható meg tetszőleges tengelyre, ha a súlyponti, vele párhuzamos tengelyre ismert a másodrendű nyomaték és a tengelynek a súlyponti tengelytől való távolsága.

  • = másodrendű nyomaték a z-tengelyre,
  • = másodrendű nyomaték a z tengellyel párhuzamos súlyponti tengelyre, (egybeesik a semleges tengellyel),
  • = a síkidom területe,
  • = a két tengely közötti távolság

Összetett keresztmetszetek[szerkesztés]

Gyakran egyszerűbb egy síkidomot részekre bontani, egyenként kiszámítani saját súlyponti tengelyükre a másodrendű nyomatékot, majd a Steiner-tétel segítségével összegezni.

  • = távolság az x-tengelytől
  • = távolság az y-tengelytől
  • = a rész területe
  • a rész tehetetlenségi nyomatéka a megfelelő irányban (azaz illetve ).
I-tarto.jpg

"I-tartó" keresztmetszet[szerkesztés]

Az I-tartót vagy három téglalap összegeként vagy egy nagy téglalap és két kis téglalap különbségeként lehet számítani.

  • = szélesség (x-irányban),
  • = magasság (y-irányban)
  • = a gerinc szélessége
  • = a két szalag távolsága

A következő képlet a nagy téglalapból kivonva a kis téglalapokat módszert használja. Az x-tengelyre vett másodrendű nyomaték:

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomaték számításánál figyelembe kell venni, hogy az eltávolítandó részek másodrendű nyomatékát a Steiner-tétellel kell számítani:

  • = a levonandó részek területe,
  • = a levonandó részek súlypontjának távolsága az y-tengelytől.

Az y-tengelyre vett másodrendű nyomatékot egyszerűbben lehet kiszámítani, ha az I-tartót három téglalap összegére bontjuk, mert akkor mindegyik rész súlypontja a tengelyre esik:

Centrifugális másodrendű nyomaték[szerkesztés]

Az Ixy centrifugális másodrendű nyomaték definíciós képlete:

  • = elemi terület,
  • = az elemi terület távolsága az y tengelytől,
  • = az elemi terület távolsága az x tengelytől.

A centrifugális másodrendű nyomaték ismeretére akkor van szükség, ha aszimmetrikus keresztmetszetű rúd hajlításakor ébredő feszültségeket számítjuk. A másodrendű nyomatéktól eltérően a centrifugális másodrendű nyomaték értéke pozitív és negatív is lehet. Azokat az egymásra merőleges tengelyeket, melyekre a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke zéró, a keresztmetszet főtengelyeinek hívjuk. Szimmetriatengelyek mindig főtengelyek.

A centrifugális másodrendű nyomaték használható az eredeti koordináta-rendszerhez képest elforgatott rendszerben vett másodrendű nyomatékok számításához:

  • = az elfordulás szöge
  • , és = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az eredeti koordináta-rendszerben,
  • , és = a másodrendű nyomatékok és a centrifugális nyomaték az elforgatott koordináta-rendszerben.

Az a szög, mellyel el kell fordítani a koordináta-rendszert, hogy a centrifugális nyomaték zéró legyen:

Ez a szög az, amit az eredeti koordináta-rendszer tengelyei a főtengelyekkel bezárnak.

Steiner-tétel centrifugális másodrendű nyomaték esetén[szerkesztés]

A centrifugális másodrendű nyomatékokra is létezik Steiner-tétel, ám ekkor a Steiner-tag más. Egy síkidom tetszőleges helyzetű centrifugális másodrendű nyomatékát megkapjuk, ha a velük párhuzamos súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékhoz hozzáadjuk az előjeles súlypont-koordinátáknak és a síkidom területének szorzatát.

  • = centrifugális másodrendű nyomaték a xy-tengelyre,
  • =centrifugális másodrendű nyomaték az xy tengelyekkel párhuzamos súlyponti tengelyekre,,
  • = a síkidom területe,
  • = síkidom súlypontjának koordinátái az xy koordinátarendszerben

Bizonyítás:

Mivel a koordináták közötti összefüggések:

így fel tudjuk írni az x,y tengelypárra számított centrifugális másodrendű nyomatékokat a következő alakban is

Ahol

  • = u súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték
  • =v súlyponti tengelyre számítitt statikai (elsőrendű) nyomaték

Az u,v súlyponti tengelyekre a statikai (elsőrendű) nyomatékok zérus értékűek, ezért adódik, hogy

.

A hajlított tartó feszültségei[szerkesztés]

Az hajlított tartóban ébredő feszültség általános esetben:

  • a hajlítófeszültség
  • = az y-tengelytől mért távolság
  • = az x-tengelytől mért távolság
  • = hajlítónyomaték az y-tengely körül
  • = hajlítónyomaték az x-tengely körül
  • = másodrendű nyomaték az x-tengelyre
  • = másodrendű nyomaték az y-tengelyre
  • = centrifugális nyomaték

Tehetetlenségi főtengelyek esetében

Ha csak egyik tengely körül ébred hajlítónyomaték:

Lásd még[szerkesztés]

Referenciák[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Flächenträgheitsmoment című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.