Merev test

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A klasszikus mechanikában a merev test a véges nagyságú szilárd test idealizált modellje, amelynél az alakváltozást elhanyagolják. Más szóval a merev test bármely két pontjának távolsága időben állandó, függetlenül az esetleg rá ható erőhatásoktól. Modellezése történhet folytonos (például egy merev korong), vagy diszkrét tömegeloszlással is (ilyen például egy elhanyagolható tömegű rúd két végén levő tömegpont).

A merev test idealizációja szigorúan csak a klasszikus mechanika szerint használható. A kvantummechanika a Heisenberg-féle határozatlansági elv miatt kizárja a tömegpont létét, így a merev testét is. A speciális relativitáselmélet azon feltevése pedig, hogy minden kölcsönhatás terjedésének sebessége véges, szintén ellentmond a merev test létének, hiszen egy merev test mozgásakor pontjai egyidejűleg mozognának, így a merev testen belül a hatás pillanatszerűen terjedne.[1] Einstein gondolatkísérlete rávilágít, hogy egy képzeletbeli gyorsan forgó, nagy átmérőjű tárcsa kerületi pontja, amelynek sebessége a fénysebességgel összemérhető, hosszkontrakciót szenvedne, tehát a merev test modellje így sem állná meg a helyét.

A merev test kinematikája[szerkesztés]

A merev testnek hat szabadságfoka van: derékszögű koordináta-rendszerben az x, y és z tengely irányába történő elmozdulás (transzláció) és az x, y és z tengely körüli elfordulás (rotáció).

A mozgást (elmozdulást és elfordulást) végző merev test tetszőleges pontjára írható:

ahol

  • a pont helyvektora a időpontban,
  • a test referenciapontjának helyzete időpontban
  • a merev test orientációs mátrixa, amely egy ortogonális mátrix egységnyi determinánssal.
  • az idő szerinti deriváltja. (Mátrix deriváltja minden elemének deriváltjával egyenlő.)
  • a pont helyvektora a test referencia orientációjához képest, például (a referencia orientáció a kezdeti helyzet)
  • a szögsebesség
  • a pont sebessége
  • a transzlációs (haladási) sebesség

A merev test dinamikája[szerkesztés]

A test mozgásának leírásához választott helyvektorú referencia pont bármely pont lehet, mely mereven rögzített a testhez. Alkalmazástól függően az alkalmas választás a következő lehet:

  • A rendszer tömegközéppontja, ennek tulajdonságai:
    • A lendület (impulzus): a merev test össztömege szorozva a tömegközéppont sebességével. A merev testre ható külső erők összege az össztömeg szorozva a tömegközéppont gyorsulásával (vagyis Newton második törvénye teljesül a tömegközéppontra). A lendület független a forgó mozgástól.
    • A perdület a tömegközéppontra vonatkozólag ugyanaz, mint haladó mozgás nélkül: minden időpillanatban egyenlő a tehetetlenségi tenzor és a szögsebesség szorzata. Ha a szögsebességet a tehetetlenségi főtengelyek koordináta-rendszerében írjuk fel, akkor a perdület minden egyes komponense a megfelelő tehetetlenségi nyomaték (fő tehetetlenségi nyomaték) és a hozzá tartozó szögsebesség-komponens szorzata, a nyomaték pedig a tehetetlenségi tenzor és a szöggyorsulás szorzata.
    • A merev test külső erőktől mentes lehetséges mozgása az egyenesvonalú egyenletes mozgás, egyenletes forgómozgás egy rögzített tengely körül és a nyomatékmentes precesszió.
    • A rendszer teljes kinetikus energiája a haladási mozgási energia és a forgási energia összege.
  • Olyan pont, amely nem mozdul el, vagy egyszerűen leírható a mozgása (például egy tengely, csukló, gömbcsukló stb.). Mechanizmusok elemzésekor ezt szokták általában használni.

A forgatás leírása mátrixszal[szerkesztés]

Ha a vektoriális szorzatot mátrixszorzatnak tekintjük, akkor ferdén szimmetrikus mátrixot kapunk. Ennek a mátrixnak a főátlóján csupa nulla áll, míg a többi benne levő szám abszolútértékben megegyezik a szögsebesség koordinátáinak abszolútértékével:

Két dimenzióban a mátrix egy olyan szöggel való elforgatást reprezentálja, ami megegyezik a szögsebesség nagyságának idő szerinti integráljával.

A járművek és az emberek rendszerint abba az irányba fordulnak, amerre továbbhaladnak, azaz a forgás megegyezik a sebesség irányának megváltoztatásával. Ezért, ha egy test egy zárt pályán halad végig a síkon, akkor szögsebességének az idő szerinti integrálja 2π többszöröse lesz, feltéve, ha az integrál két végpontja között a periódusidő egész számú többszöröse telik el. Ez az egész szám a sebességvektor origóra vonatkoztatott körülfordulási száma.

Az orientáció egységkvaterniókkal írható le. A mozgás közbeni orientációt egy kvaternió értékű függvény írja le az idő függvényében. Habár ez a reprezentáció nem egyértelmű, rendszerint úgy választják, hogy folytonos legyen.

Két merev testet különbözőnek tekintünk, ha nem vihetők át egymásba forgatással. Egy merev test királis, ha különbözik a tükörképétől, vagyis szimmetriacsoportja csak forgatásokat tartalmaz. Különben a test akirális. Egy akirális testnek lehet szimmetriasíkja, de nem biztos, hogy van: lehet egy olyan sík, amire tükrözve a testet annak egy elforgatott másolatát kapjuk. Ez az utóbbi teljesül például a gömb S2n szimmetriacsoportjára, ahol is az n = 1 eset a pontra tükrözés.

Egy merev, téglalap alakú, átlátszó lapra a középpontos szimmetria megfelel annak, hogy az egyik oldalán egy nem középpontosan szimmetrikus kép található, és a másik oldalán ugyanez a kép, fejjel lefelé.

További információk[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  1. L. D. Landau – E. M. Lifsic. 3. fejezet (§15), Elméleti fizika II. – Klasszikus erőterek. Budapest: Tankönyvkiadó, 66–67. o. (1976). ISBN 9631711870 

Forrás[szerkesztés]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest 1957.