Hullámegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A hullámegyenlet a klasszikus mechanikában és elektrodinamikában egy olyan idő- és térkoordinátában is másodrendű parciális differenciálegyenlet, amely leírja egy hullám terjedését az anyagon (közvetítő közegen) keresztül. Az egyenletnek számos formája van a hullámvezetés és a közvetítő anyag fajtájától függően.

A nemrelativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, a Schrödinger-egyenlet az időkoordinátában elsőrendű.

A relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, a Dirac-egyenlet a térkoordinátákban is elsőrendű, különben nem teljesülhetne a Lorentz-invariancia.

A klasszikus fizika hullámegyenlete[szerkesztés]

d'Alembert hullámegyenlete anyagokra[szerkesztés]

Egy dimenzióban a hullámegyenlet formája:

Általános megoldása, ahogy Jean le Rond d’Alembert megadta:

Ez két impulzusnak felel meg, az egyik (F) a +x irányban, a másik (G) a -x irányban. A fenti egyenlet értelemszerűen kibővíthető térbeli hullámegyenletté a megfelelő y és z tagok hozzáadásával.

Nemlineáris hullámegyenlet tömegáramláshoz vezethet.

Hullámegyenlet az elektromágnesességben[szerkesztés]

A klasszikus elektrodinamika hullámegyenlete a Maxwell-egyenletekből vezethető le. Induljunk ki a Maxwell-egyenletek alábbi alakjából, ahol nincsenek jelen töltések (ρ = 0), valamint nem folyik áram (j = 0):

M1:

M2:

M3:

M4:

A fentiekben , illetve .

M3-at idő szerint deriválva, illetve véve M1 rotációját, a következő összefüggésre jutunk:

(1):

(2):

Az utóbbi egyenlet és M2 felhasználásával a

(3):

összefüggést kapjuk. Ezek után (1)-et (2)-be írva, felhasználva a (3)-as összefüggést, az alábbi differenciálegyenlet adódik:

Felhasználva az és összefüggéseket, az alábbi differenciálegyenlet áll elő:

A fenti egyenletet hullámegyenletnek nevezzük. Ennek időfüggetlen vagy az időfüggésről leválasztott formája a Helmholtz-egyenlet.

Abban az esetben, ha P nem lineáris, a nemlineáris hullámegyenletet kapjuk. Erről részletesebben a nemlineáris optika címszó alatt olvashatunk.

Megoldása[szerkesztés]

Egy térdimenzióban[szerkesztés]

Az egydimenziós

hullámegyenlet általános megoldásának alakja:

ahol f és g kétszer differenciálható. Az első összeadandó a balra, a második összeadandó a jobbra futó hullámot írja le.

Az f és a g függvények kifejezhetők koszinuszos függvények lineáris kombinációjaként:

vagy a komplex exponenciális függvénnyel:

Ahol is k a hullámszám.

A frekvencia: .

A fázisszöget az komplex amplitúdó foglalja magában.

Adott kezdeti feltételekkel[szerkesztés]

Legyen az egydimenziós hullámegyenlet megoldása. Adva legyenek még az és az kezdeti feltételek.

Ekkor

A második egyenletet integrálva:

Megoldva:

Így a kezdeti feltételes megoldás:

Két térdimenzióban[szerkesztés]

Két dimenzióban az egyenlet alakja:

Megoldásának általános alakja:

Ez a megoldás a magasabb dimenziós egyenletek megoldóképletéből is levezethető.

Három, vagy több térdimenzióban[szerkesztés]

Az általános megoldás magasabb dimenzióban is kifejezhető síkhullámok lineáris kombinációjaként:

és egy ilyen síkhullám c sebességgel mozog a irányban.

A megoldás általános alakja

Itt nem látszik, hogyan függ a kezdeti értéktől a megoldás.

Három dimenzióban a megoldás előáll a kezdeti értékek középértékeként. Legyen a függvény, φ és ψ adott függvények

Ha most feltesszük, hogy c=1, akkor a kezdeti értékhez tartozó megoldás megadható a középértékek lineáris kombinációjaként:

Itt

a χ függvény középértéke az x középpontú |t| sugarú gömbön. Külön megemlítendő, hogy

Ahogy ez az előállítás mutatja, a kezdeti érték feladat megoldása folytonosan függ a kezdeti értéktől, és a t időpontban az x-beli érték csak azoktól az y pontokban felvett értékektől függ, amely y-okból a c=1 sebességgel haladó hullám elérhetett x-be. Magyarul, a hullám c=1 sebességgel halad, és eleget tesz a Huygens-elvnek.

Alacsonyabb dimenziókban nem teljesül a Huygens-elv, az x-beli érték azoktól az y pontokban felvett értékektől is függhet, amely y-okból a c=1 sebességnél lassabban haladó hullám elérhetett x-be. Páros dimenziókban hasonlóan nem teljesül a Huygens-elv.

Az inhomogén hullámegyenlet megoldása három dimenzióban:

Az inhomogenitás és a kezdeti érték hatása a hullám sebességével terjed.

Peremérték-feladatok[szerkesztés]

Egy térdimenzióban[szerkesztés]

Egy x=0 és x=L között kifeszített hajlékony húr eleget tesz a hullámegyenletnek minden t>0 és 0 < x < L-re. Az u különböző peremfeltételek adhatók:

ahol a és b nem negatív. Ha azt akarjuk, hogy a határpontokban u nulla legyen, akkor a-nak és b-nek a végtelenbe kell tartania.

A változók szétválasztásával

Következik, hogy

A λ sajátérték a

rendszer nem triviális megoldása, ami az általánosabb Sturm-Liouville-tétel speciális esete. Ha a és b is pozitív, akkor az összes sajátérték pozitív lesz, és megoldásként trigonometrikus függvények adódnak. Az u-ra és ut-re adott négyzetesen integrálható kezdeti feltételekre adott megoldás ezek szerint a függvények szerint trigonometrikus sorba fejthető.

Magasabb dimenzióban[szerkesztés]

Az egydimenziós feltételek elmélete magasabb dimenzióba is kiterjeszthető. Tekintsük a D tartományt az m dimenziós X térben, és jelöljük a határát B-vel. Ekkor a változókra a következőknek kell teljesülniük: x D-beli, és . D határán az u megoldásra kikötjük, hogy

ahol n a B-ről kifelé mutató normális egységvektor, és a a B-n definiált nem negatív függvény. Ha u-nak nullának kell lennie a határon, akkor a-nak a végtelenbe kell tartania.

A kezdeti feltételek:

ahol f és g a D-n értelmezett függvények. A feladat megoldható f és g sajátfüggvények szerinti sorfejtésével.

Ezek a sajátfüggvények eleget tesznek ezeknek az egyenleteknek:

D-ben, és

B-n.

Ha D körlap, akkor a sajátfüggvények előállnak, mint egy csak a θ szögtől függő szögfüggvény, és egy, csak a középponttól való távolságtól függő Bessel-függvény szorzata. Három dimenzióban, ha a határ gömbfelület, akkor a két tényező közül az egyik egy harmonikus gömbfüggvény, a másik egy félegész Bessel-függvény.

Egydimenziós inhomogén hullámegyenlet[szerkesztés]

Egy dimenzióban az inhomogén hullámegyenlet általános alakja:

ahol a kezdeti és a peremfeltételek:

Az függvényt forrásfüggvénynek is nevezik, mivel a forrás tulajdonságainak hatását írja le.

Az egyik módszer kihasználja, hogy a hullám véges sebességgel terjed, ami azt jelenti, hogy a pontban felvett érték csak és értékétől függ, és értéke és közé esik. Ez a d'Alembert-formulában is látható:

Fizikai szempontból tekintve: ha a maximális terjedési sebesség , akkor nincs a hullámnak olyan része, ami adott idő alatt eljutva egy pontba ne hatna az ottani amplitúdóra. Ez azt jelenti, hogy a megoldásban csak a terjedési kúpban levő pontokat kell tekintetbe venni. Jelölje a pontra ható pontok halmazát . Az inhomogén hullámegyenletet -n integrálva:

Green-tétellel:

A bal oldal három könnyen számítható integrál összege:

Az idő szerinti integrál eltűnik, mert az időtartam nulla, ezért .

Érdemes megjegyezni, hogy konstans, megegyezik -vel, jól megválasztott előjellel. Ezt felhasználva , ahol újra megfelelően választva az előjelet:

Ugyanígy az utolsó határszegmensre:

Összeadva és visszahelyettesítve:

Már csak a határokat kell explicitté tenni, és már látszik is, hogy az első két kifejezés kiadja a d'Alambert-formulát, a harmadik tag pedig csak az inhomogén tagtól függ minden -re.

Más koordináta-rendszerekben[szerkesztés]

Az elliptikus koordináta-rendszerben felírt háromdimenziós hullámegyenlet a változók szétválasztásával visszavezethető a Mathieu-differenciálegyenletre.

Hullámegyenlet a kvantummechanikában[szerkesztés]

Nemrelativisztikus kvantummechanika[szerkesztés]

A Schrödinger-egyenlet írja le a részecskék hullámszerű viselkedését a nemrelativisztikus kvantummechanikában. A klasszikus hullámegyenlethez képest lényes eltérés, hogy az időnek itt csak az első deriváltja szerepel. Az egyenlet megoldásai hullámfüggvények, amelyek a részecske valószínűségi amplitúdóját írják le. A kvantummechanika leírja más hullámok – mint például a hang – részecsketulajdonságait is atomi szinten és az alatt.

Relativisztikus kvantummechanika[szerkesztés]

A Dirac-egyenlet írja le a részecskék állapotát relativisztikus esetben. A fény részecsketermészetét, a fotonokat csak a relativisztikus kvantummechanika tudja leírni.

Források[szerkesztés]

  • Simon–Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
  • Richard Courant–David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Band 2, Springer Verlag, zweite Auflage 1968
  • M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
  • M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
  • R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
  • "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
  • Ariel Lipson, Stephen G. Lipson, Henry Lipson, Optical Physics 4th Edition, "Cambridge University Press", ISBN 9780521493451

További információk[szerkesztés]