Bolzano-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Tétel[szerkesztés]

Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye.

Bizonyítás[szerkesztés]

Egymásba skatulyázott intervallumokkal[szerkesztés]

Legyen a fenti függvény és a illetve b az értelmezési tartományának olyan pontjai, melyekben a függvény előjele ellenkező és a < b. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy . Intervallumfelezéses eljárással megmutatjuk, hogy a függvénynek van zérushelye. Legyen és a következő, közösen, rekurzív módon definiált sorozat:

Tetszőleges -re legyen

Ha , akkor megtaláltuk f egy keresett zérushelyét.
Ha
Ha

Ha c sosem nulla, akkor: monoton nő, monoton csökken, mivel az algoritmust így készítettük el.
A két sorozat tagjainak „távolsága”: . Mivel zárt intervallum, és mert mindkét sorozat monoton, és , és ezek (*) miatt egyenlőek. Legyen ez a határérték ξ!

De f folytonos ξ-ben, tehát a folytonosságra vonatkozó átviteli elv alapján: és . Ez csak úgy lehetséges, ha

A nemsztenderd analízis eszközeivel[szerkesztés]

Legyen f a fenti tulajdonságú függvény és legyen a illetve b az értelmezési tartománya olyan pontja, hogy a<b és f(a)<0<f(b) (ez feltehető; ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Legyen ω végtelen nagy természetes szám. Osszuk fel az [a,b] intervallumot ω darab egyenlő részre, az osztópontokat jelöljük xn-nel. Legyen

H nem üres, mert f(a) negatív (a az első „osztópont”) és véges halmaz a nemsztenderd valós számok között (ezt úgy jelöljük, hogy H *véges), így van maximális eleme. Legyen ez az elem M és a hozzá tartozó osztópont xM. Belátjuk, hogy ha ξ az xM sztenderd része (vagyis az a normális valós szám, ami végtelenül közel van xM-hez), akkor f(ξ) = 0.

Ha f(ξ) > 0 lenne, akkor f(xM)-et (tekintve, hogy f(xM) nem pozitív) egy véges, nemnulla sztenderd szám választaná el f(ξ)-től, ami f folytonossága miatt lehetetlen (hiszen ξ végtelen közel van xM-hez).

Ha f(ξ) < 0 lenne, akkor szintén a folytonosság miatt minden, a ξ ponthoz végtelenül közeli pontban a függvény negatív, például az

helyen is (világos, hogy xM+1 létezik és kisebb mint b, mert ott f pozitív lenne), ami ellentmond M maximális voltának.

Ekvivalens állítás[szerkesztés]

A Bolzano-tételt a következőképpen is ki szokták mondani:

  • Ha korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, és , akkor van az nyílt intervallumon zérushelye.
  • Ha korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, akkor minden -re létezik olyan , amire .

Ez a két megfogalmazás ekvivalens.

Következmény[szerkesztés]

Ez a kiterjesztés a következőt jelenti: minden a fenti feltételeknek eleget tevő (intervallumon értelmezett és folytonos) függvényre igaz, hogy minden -re, ha , igaz, hogy .

Vegyük észre, hogy ez a függvény Darboux-tulajdonságát jelenti, azaz minden intervallumon értelmezett folytonos függvény Darboux-tulajdonságú. (Lásd: Bolzano–Darboux-tétel)

További információk[szerkesztés]