Mátrix logaritmusa

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Definíció[szerkesztés]

A B mátrix egy adott A mátrix logaritmusa ha B exponenciálisa A-nak:

Példa: síkban való forgatás mátrixának logaritmusa[szerkesztés]

A síkban való forgatás egy nagyon egyszerű példát ad. A síkban az origó körüli α szöggel való forgatást egy 2×2-es mátrix reprezentál:

Bármely n egész számra, a mátrix

logaritmusa A-nak. Így az A mátrixnak végtelen sok logaritmusa létezik. Ez megfelel annak, hogy a forgatási szög megegyezik a 2π egy egész számszorosával megnövelt értékével.

A Lie-csoportok nyelvén az A forgatómátrixok az SO(2) csoport elemei. A megfelelő B logaritmusok az so(2) Lie-algebra elemei, ami a ferdén szimmetrikus mátrixokból áll.

Az

mátrix az so(2) Lie-algebra generátora.

További példa: forgatás logaritmusa a 3 dimenziós térben[szerkesztés]

Egy forgatás egy 3x3 ortogonális mátrixszal adható meg a háromdimenziós térben.

Az R forgatómátrix a Rodrigues-féle forgatási formula segítségével számítható ki:

Kivéve, ha R-nek -1 az összes sajátértéke, amikor is a logaritmus nem egyértelmű. Éppen ebben az esetben a logaritmus Frobenius-normája:

Jegyezzzük még meg, hogy az A és a B forgatómátrixokra:

a geodetikus távolság a forgatómátrixok háromdimenziós sokaságában.

Létezés és főérték[szerkesztés]

A komplex mátrixokról könnyen eldönthető, hogy van-e logaritmusuk. Egy komplex mátrixnak akkor és csak akkor van logaritmusa, ha invertálható.[1] A mátrix logaritmusa nem egyértelmű, de ha a mátrixnak nincsenek nempozitív valós sajátértékei, akkor egyértelműen van olyan logaritmusa, aminek a sajátértékei a {zC | −π < Im z < π} sávba esnek. Ez a logaritmus principális logaritmusként ismert.[2]

A valós mátrixok körében a válasz bonyolultabb. Egy valós mátrix akkor és csak akkor logaritmálható, ha invertálható, és a negatív sajátértékeihez tartozó Jordan-blokkok páros számszor fordulnak elő.[3] Ha egy invertálható mátrix nem tesz eleget ennek a feltételnek, akkor csak komplex logaritmusai vannak. Ez már az egydimenziós mátrixok körében látható: -1-nek csak komplex logaritmusa van.

A komplex elemű mátrixok principális logaritmusa a Cauchy-formula általánosítása alapján előállítható körintegrál segítségével:[4]

ahol z ln(z) a komplex logaritmus főértéke, Γ pedig a T egyszeresen összefüggő tartomány határa, mely tartomány nem tartalmazza az origót. A formula lényeges feltétele, hogy A spektruma (itt: σ(A) ) része legyen T-nek.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Ha A és B pozitív definit mátrixok, és felcserélhetők, azaz AB = BA, akkor

Minden A invertálható mátrixra

Diagonizálható mátrixok[szerkesztés]

Az A diagonizálható mátrixhoz így lehet logaritmust találni:

  • Előállítjuk az A mátrix sajátvektoraiból a V mátrixot.
  • Invertáljuk V-t.
  • Kiszámítjuk az mátrixot. Ez egy átlós mátrix, amiben A sajátértékei szerepelnek.
  • az a mátrix, aminek főátlóján A' sajátértékeinek logaritmusa áll.
  • Ekkor

Előfordulhat, hogy az A mátrix valós, és logaritmusa nem valós komplex. Ez azért lehetséges, mert egy csupa pozitív számokat tartalmazó mátrix sajátértékei negatívak is lehetnek, vagy lehetnek nem valós konjugált sajátértékpárjai is. Ilyenek például a forgatómátrixok. A mátrixlogaritmus többértékűsége a komplex logaritmus többértékűségéből ered.

Nem-diagonizálható mátrixok logaritmusa[szerkesztés]

A fent vázolt módszer nem működik nem diagonizálható mátrixokra, mint amilyen például a

Ezeket a mátrixokat is könnyebb Jordan-normálalakban logaritmálni. Ehhez a mátrixot Jordan-normálalakra kell hozni, és az egyes Jordan-blokkokat logaritmálni.

Ehhez figyelembe kell venni, hogy nem diagonizálható esetben így néz ki a Jordan-blokk:

ahol N olyan mátrix, aminek nullák vannak a főátlóján és az alatt. A λ szám nem nulla, ha a logaritmálandó mátrix invertálható.

Ekkor ezzel a formulával

kapható

Ez a sorozat nem konvergál általában, ahogy az egynél nagyobb abszolút értékű számokra sem konvergál. De N nilpotens mátrix (Nm nullmátrix, ha N mérete m), ezért a sor véges összeg.

Ezt felhasználva

Mátrixlogaritmus a funkcionálanalízisben[szerkesztés]

Egy négyzetes mátrix lineáris operátor az Rn valós euklideszi térben, ahol n a mátrix oszlopainak/sorainak száma. Mivel ez a tér véges dimenziós, ez az operátor korlátos. Véges dimenziókban szokás a lineáris operátort lineáris transzformációnak nevezni.

A komplex függvénytan eszközeivel a komplex számsík egy nyílt részhalmazán definiált f(z) reguláris függvény értelmezhető a T korlátos lineáris operátoron, ha f(z) értelmezve van T spektrumán. Ez véges dimenzióban a lineáris transzformáció sajátértékeit jelenti.

Az f(z)=ln z függvény a komplex számsík minden olyan egyszeresen összefüggő tartományán értelmezhető, ami nem tartalmazza az origót. Az így értelmezett logaritmusfüggvény reguláris ezen a tartományon. Ebből következik, hogy ln T értelmezhető minden olyan lineáris operátorra, aminek a spektrumában nincs nulla, és van egy folytonos út, ami az origóból indulva a végtelenbe megy, és nem metszi T spektrumát. Például, ha a T végtelen dimenziós lineáris operátor spektruma tartalmazza az origó körüli egységkört, akkor nem logaritmálható.

Véges dimenzióban egy lineáris transzformáció spektruma sajátértékeinek halmaza. Ez ugyanaz, mint mátrixának sajátértékeinek halmaza. Ez véges, így a transzformációnak végessok sajátértéke van. Ha a mátrixnak nincs nulla sajátértéke, akkor az útfeltétel teljesül, és a fenti meggondolások alapján ln T jóldefiniált.

A mátrixlogaritmus többértékűsége a komplex függvénytani meggondolásokból adódik, mert a logaritmus halmazfüggvényként értelmezhető. Más reguláris ágat véve a mátrix egy másik logaritmusát kapjuk.

Logaritmus függvény a Lie-csoportok elméletében[szerkesztés]

A Lie-csoportok elméletében van egy exponenciális leképezés, mely a G Lie-csoport Lie-algebrájából G-be képez:

Olyan Lie-csoportoknál, melyek mátrixcsoportok az exponenciális leképezés a mátrix exponenciálisa. Ez az eset elég gyakori, hisz a Peter–Weyl-tétel egy következményeként kompakt Lie-csoport izomorf alkalmas n-re az n × n-es unitér mátrixok egy részcsoportjával. Ekkor mind G mind elemei mátrixok és az exponenciális függvény az additív mátrixcsoportból egy multiplikatív mátrixcsoportba képez. Az inverz leképezés többértékű (a többértékű komplex leképezések értelmében) és megegyezik az itt tárgyalt mátrixlogaritmussal. Világos, hogy a logaritmus a G Lie-csoport egységet tartalmazó komponenséből a Lie-algebrába képez.

Az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a nullmátrix U környezete és az egységmátrix V környezete között. Ekkor a mátrixlogaritmus jóldefiniált:

.

A 2 x 2-es eset[szerkesztés]

Ha egy 2 x 2-es valós mátrix determinánsa negatív, akkor a mátrixnak nincs valós logaritmusa. Egy 2 x 2-es valós mátrix tekinthető a következő komplex számok valamelyikének: z = x + εy, ahol ε2=-1,0,+1. Ez a z a teljes mátrixgyűrű komplex alterének egy pontja.

A determináns csak akkor lehet negatív, ha . Ez egy felvágott komplex számsík. Ennek a síknak csak egy negyede része az exponenciális értékkészletének, így csak ezen a kvadránson értelmezhető a logaritmus. A másik három síknegyed ennek transzformáltja, amik az ε és a -1 által generált Klein-csoporttal vihetők át egymásba.

Példaként legyen a = ln 2, ekkor cosh a = 5/4 és sinh a = 3/4. Mátrixoknál ez az alábbit jelenti:

.

Így az utóbbi mátrix logaritmusa:

.

Mátrixok, melyeknek nincs logaritmusuk: Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \begin{pmatrix}3/4 & 5/4 \\ 5/4 & 3/4 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3/4 & -5/4 \\ -5/4 & 3/4\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}-5/4 & -3/4\\ -3/4 & -5/4 \end{pmatrix}} .

Ezek a fenti logaritmálható mátrix transzformáltjai az előbbi Klein-csoport hatása szerint. Ebben a hatásban az egyik oldalról az egyik csoportelem hat, a másik oldalról pedig az inverze. Úgy néz ki, mintha ezeket a csoportelemeket két oldalról szoroznánk a mátrixszal, de ez megtévesztő, mert transzformációt nem szorzunk mátrixszal. Nem feltétlenül van egy 2 x 2-es mátrixnak logaritmusa, de a Klein-csoport egyik elemével átvihető az egy olyan mátrixba, ami logaritmálható.

Egy gazdagabb példához induljunk ki a (p,q,r) pitagorászi számhármasból, és legyen a = ln(p + r) ‒ ln q. Ekkor

.

Most

.

Ezért a

mátrixnak van logaritmusa:

ahol .

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Higham (2008), Theorem 1.27
  2. Higham (2008), Theorem 1.31
  3. Colver (1966)
  4. Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Topics in matrix analysis, Cambridge University Press, 1994. p. 478 [1]

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Halász Gábor, Bevezető komplex függvénytan, ELTE jegyzet, 1998.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Topics in matrix analysis, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0521467136, 9780521467131
  • Culver, Walter J. (1966), "On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix", Proceedings of the American Mathematical Society 17: 1146–1151, ISSN 0002-9939 .
  • Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices, 1, New York: Chelsea, pp. 239–241 .
  • Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .