Egészrész

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak azt a legnagyobb egész számot felelteti meg, ami még nem nagyobb az adott számnál. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak azt a legkisebb egész számot felelteti meg, ami még nem kisebb, mint az adott szám.[1]

A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;[2] a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.[3][4] A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer nevet az alsó egészrészre. Az angoloknál az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function elnevezést, amiben az entier szó franciául egészet jelent.

Definíciók[szerkesztés]

Alsó egészrész[szerkesztés]

Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:

Így például .

Felső egészrész[szerkesztés]

Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:

Például: .

Törtrész[szerkesztés]

Egy x valós szám törtrésze egészrészétől való távolsága, azaz . Nyilván mindig teljesül .

Példa:

Érték Alsó egészrész Felső egészrész Törtrész
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.7 2 3 0.7
−2.7 −3 −2 0.3
−2 −2 −2 0

Tulajdonságok[szerkesztés]

Ekvivalens definíciók[szerkesztés]

Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban egy egész van, ezért egyértelműen vannak olyan n, 'm egészek, amikre:

Ezért

 és 

az alsó és a felső egészrész ekvivalens definíciója.

Számolás egészrészekkel[szerkesztés]

A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:

Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot mutatják:

Egész szám hozzáadásának hatása:

Ha n nem egész, akkor a fenti számolások nem igazak:

A függvények kapcsolata[szerkesztés]

A definíciók alapján nyilván

  és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész, i.e.

Valóban, ha n egész:

Az argumentum előjelét megváltoztatva az alsó és felső egészrész függvény megcserélődik, és előjelet vált:

  azaz

A törtrész argumentumának ellentettjét véve a törtrész a komplementerére változik:

A felső, az alsó egészrész és a törtrész idempotens:

A beágyazott alsó, és felső egészrészek eredménye megegyezik a legbelső eredményével:

Rögzített y-ra x mod y idempotens:

Tehát a definíciók szerint

Osztások[szerkesztés]

Ha n ≠ 0,

Ha n pozitív[5]

Ha m pozitív[6]

m = 2-re következik:

Általában,[7] for pozitív m-re:

Ezekkel az összefüggésekkel át lehet térni az egyik egészrészről a másikra (m pozitív)[8]

Ha m és n is pozitív, és relatív prímek, akkor

Mivel a jobb oldal szimmetrikus m-ben és n-ben, következik, hogy

Általánosabban, ha m és n pozitív,

[9]

Pozitív m,n-re, és tetszőleges valós x-re:

Jellemzés[szerkesztés]

Az itt tárgyalt függvények nem folytonosak; az egészrészek és a törtrész szakadási helyei éppen az egész számok. Az x mod y szakadási helyei rögzített y-ra y többszörösei. Nem párosak, és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. Az alsó egészrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos. A szakadási helyeken mindkét oldali határérték létezik. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.

Mivel ezek a függvények nem folytonosak, nem fejthetők Taylor-sorba. Ezen kívül az egészrészeknek Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.

Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:[10]

Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:

A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.

Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával

Alkalmazások[szerkesztés]

mod operátor[szerkesztés]

A mod operátor így definiálható:

ahol y ≠ 0.

x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel; i.e.

ha y pozitív,

és ha y negatív,

Ha x egész, és y pozitív, akkor

Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.

Kvadratikus reciprocitás[szerkesztés]

Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.[11][12]

Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen

Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra

és

A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy

Összetéve

Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:[13]

Kerekítés[szerkesztés]

A pozitív számok egészekre kerekítése az függvénnyel, a negatív számoké a függvénnyel írható le.

Tizedesjegyek levágása[szerkesztés]

A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre , és nem pozitív egészekre .

A szignumfüggvény felhasználásával:

Jegyek száma[szerkesztés]

Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben:

Faktoriálisok prímtényezős felbontása[szerkesztés]

Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában[14]

Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.

Beatty-sorozatok[szerkesztés]

A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre partícionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.[15]

Az Euler-konstans[szerkesztés]

Több képletben is együtt szerepel a γ = 0.57721 56649 ... Euler-konstans és valamelyik egészrész:

és

Riemann-féle zéta függvény[szerkesztés]

A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.

Parciális integrálással megmutatható,[16] hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor

Ha most φ(n) = n−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:

Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.[17]

A kritikus sávban levő s = σ + i t-re

1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.[18]

Prímszámok[szerkesztés]

n akkor és csak akkor prím, ha[19]

Legyen r > 1 egész, pn az n-edik prím, és

Ekkor[20]

Van egy θ = 1.3064... szám (a Mill-konstans), hogy

mind prímek.[21]

Van egy ω = 1.9287800... szám is, hogy

mind prímek.[21]

Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:[22]

Tehát, ha n ≥ 2,[23]

Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.

Ramanujan problémái[szerkesztés]

Ramanujan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:[24]

Ha n pozitív egész, akkor:

(I)    

(II)    

(III)    

Ezeket az állításokat sikerült belátni.

Megoldatlan kérdések[szerkesztés]

A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:

Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy[25]

Mahler[26] belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.

Források[szerkesztés]

  1. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
  2. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 72
  6. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
  7. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
  8. Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
  9. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
  10. Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
  11. Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
  12. Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
  13. Lemmermeyer, p. 25
  14. Hardy & Wright, Th. 416
  15. Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
  16. Titchmarsh, p. 13
  17. Titchmarsh, pp.14–15
  18. Crandall & Pomerance, p. 391
  19. Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
  20. Hardy & Wright, § 22.3
  21. ^ a b Ribenboim, p. 186
  22. Ribenboim, p. 181
  23. Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
  24. Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  25. Hardy & Wright, p. 337
  26. Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124