Konstans függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.

A következők ekvivalensek:

  • f : A B konstans
  • minden g, h függvényre g, h : CA, f o g = f o h, (a kategóriaelméletben így definiálják)
  • bármely függvénnyel komponáljuk f-et, mindig konstans függvényt kapunk.

Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.

A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.

Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.

További összefüggések, általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.

  • Tartalmazzon az Y halmaz egynél több elemet. Az X topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans f:X \to Y függvény konstans.
  • Ha az A topologikus tér összefüggő, és a B topologikus tér diszkrét, akkor a g:A \to B folytonos függvény konstans.

Bizonyítás: A B tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az A térben. Az A tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
  • Thomas-féle kalkulus I., II., III.
  • Halász Gábor: Komplex függvénytan
  • konstans függvény a PlanetMath oldalain
  • konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések