Idempotencia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában az idempotencia a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Idempotensnek nevezzük egy algebrai struktúra valamely elemét a struktúra egy adott kétváltozós műveletére nézve, ha azokban az esetekben, amikor a művelet mindkét operandusa megegyezik az adott elemmel, akkor a művelet eredménye is megegyezik az operandusokkal, azaz a megadott elemmel. Idempotens műveletről beszélünk, ha az adott műveletre nézve a struktúra minden eleme idempotens.

Gyűrűk esetén az idempotenciát mindig a gyűrű szorzás műveletére nézve vizsgáljuk.

Definíció[szerkesztés]

Legyen tetszőleges grupoid. Ha valamely elemre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy az idempotens elem az grupoidban. Ha minden elemre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy a művelet idempotens az grupoidban.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Gyűrű minden olyan idempotens eleme, amely nem nulla és nem egység, zérusosztó.
  • Bármely félcsoport tetszőleges idempotens elemére akkor és csak akkor teljesül a bal oldali egyszerűsítési szabály, ha balegységelem.

Példák[szerkesztés]

Idempotens leképezések[szerkesztés]

Ha a definícióban szereplő grupoid egy tetszőleges halmaz leképezéseiből áll (a művelet pedig a leképezések szokásos kompozíciója), akkor elemeit idempotens leképezésnek nevezzük. Egy (azaz ) leképezés tehát akkor idempotens, ha minden -ra. Triviális példa az idempotens leképezésre minden konstans függvény, valamint a minden elemet helyben hagyó identitásfüggvény is, de közismert idempotens leképezés a komplex vagy valós számokon értelmezett abszolútérték-függvény is.

Informatikai jelentése[szerkesztés]

Az informatikában gyakran idempotensnek nevezünk egy műveletet, ha ugyanazt az eredményt adja egyszer, illetve többször alkalmazva. Ilyen például a HTTP Get kérés (a Post-tal szemben).

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)