Polilogaritmus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A polilogaritmus-függvény a komplex függvények egyike, nevezik Jonquière-féle függvénynek is. Jelölése: Lis(z).

Definíciói[szerkesztés]

Hatványsorral[szerkesztés]

Definíciója végtelen hatványsor alakjával:

  • A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével.
  • Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például logaritmusfüggvénnyé.

Ha s=1, akkor a természetes logaritmus esete áll fenn, Li1(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, az s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.

Integrálással[szerkesztés]

A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint többszörösen végrehajtott integrálokat:

így a dilogaritmus a logaritmus integrálja, és így tovább.

Ha s egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény.

Alkalmazások[szerkesztés]

A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac-eloszlás (lásd: Fermi–Dirac-statisztikánál) és a Bose-Einstein-eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac-integrál vagy Bose–Einstein-integrál.

A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.

Speciális esetek[szerkesztés]

polilogaritmusok

Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s egész, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li1(z)-re a következő összefüggések kaphatók:

A polilogaritmus redukálódik a z polinomjainak arányára. Az általános eset a következő véges összeggel fejezhető ki:

ahol S(n,k) másodfajú Stirling-szám. Hasonló formula kapható negatív egészek esetében:[1]

és

ahol Euler-féle szám.

Polilogaritus-függvények a komplex síkon
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
Complex polylogminus1.jpg
Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg

Irodalom[szerkesztés]

  • Apostol, T.M: Polylogarithm. (hely nélkül): Mathematics of Computation 66 (218). 2010. ISBN 9780521192255  
  • Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1997.  
  • Vepstas, L: An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". 2010. 211–252. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]