Polilogaritmus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A polilogaritmus-függvény a komplex függvények egyike, nevezik Jonquière-féle függvénynek is. Jelölése: Lis(z).

Definíciói[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hatványsorral[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definíciója végtelen hatványsor alakjával:


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s} = z + {z^2 \over 2^s} + {z^3 \over 3^s} + \cdots \,.
  • A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével.
  • Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például logaritmusfüggvénnyé.

Ha s=1, akkor a természetes logaritmus esete áll fenn, Li1(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, az s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.

Integrálással[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint többszörösen végrehajtott integrálokat:


\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int \limits _0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t \,;

így a dilogaritmus a logaritmus integrálja, és így tovább.

Ha s egy nempozitív egész szám, akkor a polilogaritmus racionális függvény.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac-eloszlás (lásd: Fermi–Dirac-statisztikánál) és a Bose-Einstein-eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac-integrál vagy Bose–Einstein-integrál.

A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.

Speciális esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

polilogaritmusok

Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s egész, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li1(z)-re a következő összefüggések kaphatók:

\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)
\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}
\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}
\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}
\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}
\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.

A polilogaritmus redukálódik a z polinomjainak arányára. Az általános eset a következő véges összeggel fejezhető ki:


\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left( z \,{\partial \over \partial z} \right)^n {z \over {1-z}} =

= \sum_{k=0}^n k! \,S(n\!+\!1, \,k\!+\!1) \left({z \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots) \,,

ahol S(n,k) másodfajú Stirling-szám. Hasonló formula kapható negatív egészek esetében:[1]


\operatorname{Li}_{-n}(z) = (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n k! \,S(n\!+\!1, \,k\!+\!1) \left({{-1} \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=1,2,3,\ldots) \,,

és


\operatorname{Li}_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} \left\langle {n \atop k} \right\rangle z^{n-k} \qquad (n=1,2,3,\ldots) \,,

ahol \scriptstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle Euler-féle szám.

Polilogaritus-függvények a komplex síkon
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
Complex polylogminus1.jpg
Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg
\operatorname{Li}_{-3}(z) \operatorname{Li}_{-2}(z) \operatorname{Li}_{-1}(z) \operatorname{Li}_{0}(z) \operatorname{Li}_{1}(z) \operatorname{Li}_{2}(z) \operatorname{Li}_{3}(z)

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Apostol, T.M: Polylogarithm. (hely nélkül): Mathematics of Computation 66 (218). 2010. ISBN 9780521192255  
  • Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1997. 
  • Vepstas, L: An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". 2010. 211–252. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]