Gyökvonás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A négyzetgyök függvény

A gyökvonás egy matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a logaritmus). Mikor egy számból n-edik gyököt vonunk (), olyan számot keresünk, amelyet az n-edik hatványra emelve visszaadja az eredeti számot (ilyen szám nem mindig létezik). Matematikailag:

Jelölés[szerkesztés]

A gyökjel () eredete elég bizonytalan, de a legtöbben, beleértve Leonhard Eulert[1] is, úgy gondolják, hogy a latin "radix" (gyökér) szó kezdőbetűjének, az r-nek az elnyújtásából származik. Ez a jel először nyomtatásban a felső vízszintes vonal nélkül jelent meg 1525-ben, Christoph Rudolff német matematikus által írt "Die Coss"-ban.[2]

Probléma adódik ennek a különleges karakternek az elektronikus ábrázolásával, mert nincs rajta közvetlenül a billentyűzeten (kivétel Mac OS rendszerben: [alt]-v). A gyökjel ábrázolásához speciális szoftverek (például LaTeX) adnak segítséget, Unicode szabványt használva például HTML-ben a gyökjel a „√“ –  – (azaz a: „√“) kóddal jeleníthető meg.

Írásmód és elnevezés[szerkesztés]

Igazolható, hogy nemnegatív a számra az

egyenletnek pontosan egy nemnegatív megoldása van. Ezt a megoldását a következőképp jelöljük:

és úgy olvassuk ki:

a n-edik gyöke x”.

Páratlan kitevő esetén az n-edik gyökvonás kiterjeszthető negatív számokra is. Pl. -8 harmadik (v. köb-) gyöke, azaz az a szám, melynek harmadik hatványa -8, egyértelműen létezik, mégpedig -2. Páros kitevő esetében viszont a gyökvonás nem végezhető el negatív számokra, mert nincs valós megoldás. Ez az egyik motivációja a komplex számok bevezetésének.

Négyzet- és köbgyök[szerkesztés]

Ha a gyökkitevő 2, akkor négyzetgyökvonásról, vagy egyszerűen gyökvonásról beszélünk, és a gyökkitevőt ilyenkor nem kell kiírni.

a a
4 2 121 11
9 3 144 12
16 4 169 13
25 5 196 14
36 6 225 15
49 7 256 16
64 8 289 17
81 9 324 18
100 10 361 19

Alapműveletek[szerkesztés]

A gyökvonás műveletének elvégzésében segíthetnek a következő azonosságok:

ahol a és b pozitív.

Minden nullától különböző a komplex számra igaz, hogy létezik n darab különböző b szám, amelyre teljesül, hogy bn = a ,így a nem használható egyértelműen.

Ha a számot gyökös kifejezésből exponenciális kifejezéssé írjuk át, akkor a szabályok változatlanok maradnak (még törtkitevő esetén is), nevezetesen:

Például:

Ha összeadást, vagy kivonást akarunk végezni, akkor érdemes megjegyezni a következő szabályt:

Ha megértettük, hogyan egyszerűsítsünk gyökös kifejezéseket, akkor sokkal egyszerűbb elvégezni a kivonást és összeadást a kiemelés segítségével. Például:

Műveletek irracionális számokkal[szerkesztés]

Sokszor egyszerűbb az n-edik gyököt "megoldatlanul" hagyni (a gyökjel alatt). Ebben az alakban hagyva olyan átalakításokat végezhetünk rajta, amellyel egyszerűbb alakra tudjuk hozni a gyökös kifejezést.

kifejezés megegyezik a kifejezéssel, ha a gyökös kifejezést hatványként szeretnénk felírni.

Minden gyökös kifejezést fel lehet írni hatványkitevős alakban is. Az alapvető műveletek elvégzéséhez szükséges szabályokat azonosságoknak nevezzünk. Néhány alapvető azonosság:

    • Ez kombinálható a fentebb említett hatványkitevős alakkal:

Az utolsó azonosságban bővítés segítségével a nevezőből el tudjuk tüntetni az irracionális kifejezéseket, az alábbi azonosságot felhasználva:

(két szám összegének és különbségének szorzata).

Végtelen sorok[szerkesztés]

A gyök előállítható végtelen sorként is:

ahol .

Összes gyök megkeresése[szerkesztés]

Bármely szám összes gyöke, legyen az a szám természetes vagy komplex, egyszerűen megadható egy algoritmus segítségével. A számot átírva az ae alakba (lásd: Euler formula), az összes n-edik gyök megkapható a következőből:

ahol , és jelenti a n-edik gyökét.

Polinomok megoldása[szerkesztés]

A legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei felírhatók általános képlettel, melyben csak az alapműveletek és gyökös kifejezések szerepelnek, de az Abel–Ruffini-tétel szerint ez nem igaz általánosan. Például a következő egyenlet megoldása

nem adható meg gyökös kifejezéssel.

Az n-edfokú egyenletek megoldásához használható a gyök-kereső algoritmus.

Komplex számok gyökei[szerkesztés]

Komplex ötödik gyökök 1 + i√3 = 2 · eπ · i/3.

Egy komplex szám n-edik gyökeinek nevezzük a egyenlet megoldásait.

Ha akkor egy origó középpontú egységsugarú kört n részre osztva kapjuk meg az egyenlet megoldásait, és ezeket n-edik egységgyököknek nevezzük.

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Leonhard Euler. Institutiones calculi differentialis (Latin nyelven) (1755) 
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics – RADIX, ROOT, UNKNOWN, SQUARE ROOT

Források[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a nth root című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.