Nagy számok törvénye

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A nagy számok törvénye a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele. A törvény azt mondja ki, hogy egy kísérletet sokszor elvégezve az eredmények átlaga egyre közelebb lesz a várható értékhez. A közeledés nem monoton, mivel újra és újra felbukkannak nem tipikus eredmények. Precízebb megfogalmazásban, ha azonos eloszlású független valószínűségi változók véges várható értékkel, akkor .

A törvénynek van egy gyenge és egy erős változata attól függően, hogy pontosan mit értünk konvergencia alatt: a gyenge változat szerint sztochasztikus konvergenciát, ha

teljesül minden pozitív -ra, az erős szerint pedig 1 valószínűségű (majdnem biztos) konvergenciát, ha

.

Alkalmazásai[szerkesztés]

  • Biztosítás: a biztosítók meg tudják becsülni a jövőbeli kifizetések nagyságát. Minél több a biztosított személy, vagy tárgy, annál kisebb a véletlen befolyása. A nagy számok törvényével azonban az egyes káresemények nem jósolhatók meg. A tétel alkalmazhatóságát ronthatják az előre nem látható események, például az éghajlatváltozás.
  • Orvostudomány: az új kezelési módszerek vizsgálatában a nagy elemszámú minta csökkenti a véletlen befolyását, habár teljesen nem tudja kiküszöbölni.
  • Természettudományok: a mérési hibát több mérés átlagolásával csökkenteni lehet.

Példa[szerkesztés]

Egy szabályos tömegeloszlású pénzdarab ugyanolyan valószínűséggel esik fejre, mint írásra. Minél többször dobjuk fel, annál valószínűbb, hogy aránylag a dobások felében kapunk fejet. Fontos, hogy a közeledés csak az arányra vonatkozik, a különbségre nem.

A tétel egy gyakori félreértése, különösen a szerencsejátékosok körében, hogy az következne belőle, hogy a véletlen események valamiképpen kiegyenlítik egymást (például ha sokszor egymás után piroson állt meg a rulett, akkor a következőkben sokszor kell feketén megállnia, hogy a pirosok és a feketék száma megint nagyjából egyenlő legyen). Valójában ennek az ellenkezője igaz: az idő előrehaladtával egyre nagyobb abszolút eltérés várható az eredmények összege és a várható érték n-szerese között, azonban ez az eltérés lassabban nő, mint n, így a relatív eltérés csökken.

Például egy érmedobás-sorozat így kezdődik: fej, írás, fej, fej. Ebből a fej háromszor fordult elő, írás egyszer, a fejek aránya ¾, az írásé ¼. 96 további dobás után 47 írás és 53 fej van, a különbség 53 - 47 = 6, ami nagyobb, mint 3 - 1 = 2, de a közelebb esik a 0,5 várható értékhez, mint a ¾ = 0,75.

A nagy számok gyenge törvénye[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy az valószínűségi változók eleget tesznek a nagy számok gyenge törvényének, ha a tapasztalati várható értékre, és minden pozitív ε-ra:

.

Különféle feltételek kellenek a gyenge konvergencia teljesüléséhez. Egy ilyen feltétel szerint, ha az valószínűségi változók szórásai közös korlát alatt maradnak, és a változók korrelálatlanok, vagyis minden -re.

Hincsin feltételei szerint, ha a sorozat valószínűségi változói függetlenek, és egyforma eloszlásúak, és várható értékük véges, akkor szintén teljesül a gyenge konvergencia.

Hincsin tétele levezethető a Csebisev-egyenlőtlenségből.

A nagy számok erős törvénye[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy a valószínűségi változók sorozata eleget tesz a nagy számok erős törvényének, ha a

tapasztalati várható értékre:
.

A nagy számok erős törvénye teljesül például akkor, ha a valószínűségi változók függetlenek, és egyforma eloszlásúak. N. Etemadi feltételei szerint elég, ha egyforma eloszlásúak, és páronként függetlenek; a szórás végessége nem kell. Egy harmadik elégséges feltétel szerint a változók páronként korrelálatlanok, és szórásuk véges.

Az erős törvényből következik a gyenge törvény. Az ergodikus tételek általánosítják a nagy számok törvényét stacionárius sztochasztikus folyamatokra. Az egyik az individuális ergodikus tétel, a másik az Lp-ergodikus tétel, ezek még páronkénti függetlenséget sem tételeznek fel.

Értelmezése[szerkesztés]

Az analízisben tanulmányozott klasszikus sorozatoktól eltérően nem lehet abszolút jellemezni egy sorozat konvergenciáját. Ennek az az alapja, hogy például kockadobáskor nem zárhatók ki olyan sorozatok, ahol eredményként például 6, 6, 6, … adódik. Egy ilyen sorozatban azonban a tapasztalati számtani közepek nem konvergálnak a 3,5 várható értékhez. A nagy számok törvénye nem is állít abszolút konvergenciát, hanem csak azt, hogy az ilyen sorozatok valószínűsége nulla, azaz majdnem lehetetlenek.

A nagy számok törvénye a sorozatok centrált valószínűségi változóinak számtani közepeiről szól:

Mivel bármikor előfordulhat kiugró eredmény, a sorozat nullához tartásának jellemzésére nem elégséges egy tetszőlegesen kicsi értéket megadni, mint a klasszikus sorozatoknál, hanem szükség van egy toleranciavalószínűségre is. A nagy számok gyenge törvénye azt jelenti, hogy egy előre megadott toleranciahatárhoz és toleranciavalószínűséghez található egy elég nagy index, hogy egy, az távolságot túllépő esemény legfeljebb valószínűséggel következik be. Ezzel szemben a nagy számok erős törvénye egy olyan eseményre vonatkozik, ami az távolságok valamelyike túllépi az távolságot.[1]

Története[szerkesztés]

A nagy számok törvényét először Jakob Bernoulli jegyezte fel 1689-ben, de csak halála után jelent meg, 1713-ban. Bernoulli a nagy számok gyenge törvényét az arany tételnek nevezte. Az erős törvény kimondására 1909-ig kellett váni, Émile Borel érmefeldobás esetére írta le az első változatát. 1917-ben Francesco Cantelli elsőnek bizonyította be az erős törvényt az általános esetre.[2]

1981-ben N. Etemadi kiegészítette a nagy számok törvényét.[3] Ez azt jelenti, hogy a tétel teljesül, ha a valószínűségi változók páronként függetlenek, létezik a várható értékük és várható értékük véges.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. 2011, Kapitel 2.8, S. 103–113.
  2. Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. 2011, Kapitel 2.7 und 2.8, S. 90–113.
  3. Nasrollah Etemadi: An elementary proof of the strong law of large numbers. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. (Online-Ausgabe: Probability Theory and Related Fields. Continuation of Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie.). Bd. 55, Nr. 1, 1981, S. 119–122, doi:10.1007/BF01013465.

Források[szerkesztés]

  • Denkinger Géza: Valószínűségszámítás, NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, 2001
  • H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004.
  • R. Durrett: Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Duxbury, 2004.
  • K. Mosler, F. Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 3. Auflage, Springer, 2008.
  • Jörg Bewersdorff: Statistik – wie und warum sie funktioniert. Ein mathematisches Lesebuch. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1753-2, doi:10.1007/978-3-8348-8264-6.
  • Rick Durrett: Probability. Theory and Examples. 3. Auflage. Thomson Brooks/Cole, Belmont CA u. a. 2005, ISBN 978-0-534-42441-1.
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
  • Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2., verbesserte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 978-3-540-27787-3, doi:10.1007/3-540-29441-4.
  • Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit. Berlin u. a.: Springer (2009). ISBN 978-3-540-89729-3 

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gesetz der großen Zahlen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.