Nagy számok törvénye

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A nagy számok törvénye a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele. A törvény azt mondja ki, hogy egy kísérletet sokszor elvégezve az eredmények átlaga egyre közelebb lesz a várható értékhez. Precízebb megfogalmazásban, ha X_1, \ldots ,X_n azonos eloszlású független valószínűségi változók véges E(X_i) = \mu várható értékkel, akkor {\sum_{i=1}^n X_i} /n \to \mu \,.

A törvénynek van egy gyenge és egy erős változata attól függően, hogy pontosan mit értünk konvergencia alatt: a gyenge változat szerint sztochasztikus konvergenciát, azaz

\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1

teljesül minden pozitív \varepsilon-ra, az erős szerint pedig 1 valószínűségű (majdnem biztos) konvergenciát, azaz

\operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1.

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Biztosítás: a biztosítók meg tudják becsülni a jövőbeli kifizetések nagyságát. Minél több a biztosított személy, vagy tárgy, annál kisebb a véletlen befolyása. A nagy számok törvényével azonban az egyes káresemények nem jósolhatók meg. A tétel alkalmazhatóságát ronthatják az előre nem látható események, például az éghajlatváltozás.
  • Orvostudomány: az új kezelési módszerek vizsgálatában a nagy elemszámú minta csökkenti a véletlen befolyását, habár teljesen nem tudja kiküszöbölni.
  • Természettudományok: a mérési hibát több mérés átlagolásával csökkenteni lehet.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy szabályos tömegeloszlású pénzdarab ugyanolyan valószínűséggel esik fejre, mint írásra. Minél többször dobjuk fel, annál valószínűbb, hogy aránylag a dobások felében kapunk fejet.

A tétel egy gyakori félreértése, különösen a szerencsejátékosok körében, hogy az következne belőle, hogy a véletlen események valamiképpen kiegyenlítik egymást (például ha sokszor egymás után piroson állt meg a rulett, akkor a következőkben sokszor kell feketén megállnia, hogy a pirosok és a feketék száma megint nagyjából egyenlő legyen). Valójában ennek az ellenkezője igaz: az idő előrehaladtával egyre nagyobb abszolút eltérés várható az eredmények összege és a várható érték n-szerese között, azonban ez az eltérés lassabban nő, mint n, így a relatív eltérés csökken.

A nagy számok gyenge törvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy az X_1, X_2, X_3, \dots \in \mathcal{L}^1 valószínűségi változók eleget tesznek a nagy számok gyenge törvényének, ha a \overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-E (X_i)\right)/n tapasztalati várható értékre, és minden pozitív ε-ra:

\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n\right|>\varepsilon\right)=0.

Különféle feltételek kellenek a gyenge konvergencia teljesüléséhez. Egy ilyen feltétel szerint, ha az X_1, X_2, X_3, \dots valószínűségi változók szórásai közös korlát alatt maradnak, és a változók korrelálatlanok, vagyis \operatorname{cov}(X_i, X_j) = 0 minden i\neq j-re.

Hincsin feltételei szerint, ha a X_1, X_2, X_3, \dots sorozat valószínűségi változói függetlenek, és egyforma eloszlásúak, és várható értékük véges, akkor szintén teljesül a gyenge konvergencia.

Hincsin tétele levezethető a Csebisev-egyenlőtlenségből.

A nagy számok erős törvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy a X_1, X_2, X_3, \dots \in \mathcal{L}^1 valószínűségi változók sorozata eleget tesz a nagy számok erős törvényének, ha a

\overline{X}_n=\sum_{i=1}^{n}(X_i-E ({X}_i))/n tapasztalati várható értékre:
\operatorname{P}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}|\overline{X}_n|=0\right)=1.

A nagy számok erős törvénye teljesül például akkor, ha a valószínűségi változók függetlenek, és egyforma eloszlásúak. N. Etemadi feltételei szerint elég, ha egyforma eloszlásúak,és páronként függetlenek; a szórás végessége nem kell.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Denkinger Géza: Valószínűségszámítás, NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, 2001
  • H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004.
  • R. Durrett: Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Duxbury, 2004.
  • K. Mosler, F. Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 3. Auflage, Springer, 2008.