Független valószínűségi változók

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az valószínűségi tér, és mértékterek, ekkor az

és

valószínűségi változók függetlenek, ha minden és esetén

.

A definíció több változóra is kiterjeszthető.

A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.

Jelölések, alternatív definíció[szerkesztés]

A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz helyett inkább az kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:

minden halmazra.

Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor

.

Azaz ha valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden halmazra és független események, tehát

Példa[szerkesztés]

Legyen eseménytér, ahol mint alaphalmaz, σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá és . Állítjuk, hogy a

.

valószínűségi változók függetlenek.

Mindkét σ-algebrának négy eleme van: , emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben vagy kombinálódik a következőkkel.

  1. Legyen . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel :
  2. Legyen . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel .
  3. Legyen és . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel .
  4. Legyen und . Ekkor és továbbá . Ezek az események függetlenek, mivel .

Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.

Általános eset[szerkesztés]

Valószínűségi változók egy családja, ahol tetszőleges indexhalmazzal független, ha teljesül indexek minden részhalmazára, hogy

minden esetén.

Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek. Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek értékűek) is alkalmazható.[1] Nincsenek további követelmények a komponensekre.

Kritériumok[szerkesztés]

Generátorrendszerek[szerkesztés]

A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van metszetstabil generátor, akkor , tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:

minden halmazra és minden véges részhalmazára -nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok.

Véges családok[szerkesztés]

Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz , akkor elegendő, hogy

minden halmatra. Le lehet mondani a részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy . A eset automatikusan következik a fentiből, ha -t helyettesítünk, ekkor így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz.

Diszkrét valószínűségi változók véges családjai[szerkesztés]

A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen és legyenek az valószínűségi változók -beliek, és diszkrétek szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha

minden esetén.

Valós valószínűségi változók diszkrét családjai[szerkesztés]

Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az valószínűségi változók függetlenek, ha

minden esetén.

  1. Sablon:Literatur