Független valószínűségi változók

A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ valószínűségi tér, $(E_{1},\Sigma _{1})$ és $(E_{2},\Sigma _{2})$ mértékterek, ekkor az

$X_{1}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{1},\Sigma _{1})$

és

$X_{2}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{2},\Sigma _{2})$

valószínűségi változók függetlenek, ha minden $B_{1}\in \Sigma _{1}$ és $B_{2}\in \Sigma _{2}$ esetén

$P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\,{\text{,}}\,X_{2}(\omega )\in B_{2}\})=P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\})\cdot P(\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\})$.

A definíció több változóra is kiterjeszthető.

A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.

Jelölések, alternatív definíció

A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz $\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}$ helyett inkább az $\{X_{2}\in B_{2}\}$ kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:

$P(\{X_{1}\in B_{1},\,X_{2}\in B_{2}\})=P(\{X_{1}\in B_{1}\})\cdot P(\{X_{2}\in B_{2}\})$

minden $B_{1}\in \Sigma _{1},\,B_{2}\in \Sigma _{2}$ halmazra.

Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor

$A_{B_{1}}^{1}=\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\}$

$A_{B_{2}}^{2}=\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}$.

Azaz ha $X_{1},X_{2}$ valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden $B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}$ halmazra $A_{B_{1}}^{1}$ és $A_{B_{2}}^{2}$ független események, tehát

$P(A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2})=P(A_{B_{1}}^{1})P(A_{B_{2}}^{2})$

Példa

Legyen $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ eseménytér, ahol $\Omega =\{1,2,3,4\}$ mint alaphalmaz, ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá $E_{1}=E_{2}=\{0,1\}$ és $\Sigma _{1}=\Sigma _{2}={\mathcal {P}}(\{0,1\})$. Állítjuk, hogy az

$X_{1}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ ha }}\omega \in \{1,2\}\\0&{\text{ ha }}\omega \in \{3,4\}\end{cases}}$

$X_{2}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ ha }}\omega \in \{2,3\}\\0&{\text{ ha }}\omega \in \{1,4\}\end{cases}}$.

valószínűségi változók függetlenek.

Mindkét σ-algebrának négy eleme van: $\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}$, emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben $B_{1}=\{0\}$ vagy $B_{1}=\{1\}$ kombinálódik a következőkkel.

1. Legyen $B_{1}=B_{2}=\{0\}$. Ekkor $A_{B_{1}}^{1}=\{3,4\}$ és $A_{B_{2}}^{2}=\{1,4\}$ továbbá $A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{4\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{4\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{1,4\})$:
2. Legyen $B_{1}=B_{2}=\{1\}$. Ekkor $A_{B_{1}}^{1}=\{1,2\}$ és $A_{B_{2}}^{2}=\{2,3\}$ továbbá $A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{2\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{2\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{2,3\})$.
3. Legyen $B_{1}=\{1\}$ és $B_{2}=\{0\}$. Ekkor $A_{B_{1}}^{1}=\{1,2\}$ és $A_{B_{2}}^{2}=\{1,4\}$ továbbá $A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{1\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{1\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{1,4\})$.
4. Legyen $B_{1}=\{0\}$ és $B_{2}=\{1\}$. Ekkor $A_{B_{1}}^{1}=\{3,4\}$ és $A_{B_{2}}^{2}=\{2,3\}$ továbbá $A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{3\}$. Ezek az események függetlenek, mivel $P(\{3\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{2,3\})$.

Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.

Általános eset

Valószínűségi változók $X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},P)\rightarrow (E_{i},\Sigma _{i})$ egy családja, ahol $i\in I$ tetszőleges indexhalmazzal $I$ független, ha teljesül indexek minden $J$ részhalmazára, hogy

$P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}\right)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})$

minden $B_{j}\in \Sigma _{j}$ esetén.

Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek. Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek $\mathbb {R} ^{n}$ értékűek) is alkalmazható. Nincsenek további követelmények a komponensekre.

Kritériumok

Generátorrendszerek

A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van $\Sigma _{i}$ ${\mathcal {E}}_{i}$ metszetstabil generátor, akkor $\sigma ({\mathcal {E}}_{i})=\Sigma _{i}$, tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:

$P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}\right)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})$

minden $B_{j}\in {\mathcal {E}}_{j}$ halmazra és minden $J$ véges részhalmazára $I$-nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok.

Véges családok

Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz $I=\{1,\dots ,n\}$, akkor elegendő, hogy

$P\left(\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\in B_{i}\}\right)=\prod _{i\in I}P(X_{i}\in B_{i})$

minden $B_{i}\in \Sigma _{i}$ halmatra. Le lehet mondani a $J\subset I$ részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy $\{X_{i}\in E_{i}\}=\Omega$. A $J\subsetneqq I$ eset automatikusan következik a fentiből, ha $i\in I\setminus J$-t helyettesítünk, ekkor $B_{i}=E_{i}$ így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz.

Diszkrét valószínűségi változók véges családjai

A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen $I=\{1,\dots ,n\}$ és legyenek az $X_{i}$ valószínűségi változók $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$-beliek, és diszkrétek $(E_{i},\Sigma _{i})$ szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha

$P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}=x_{i})$

minden $x_{i}\in E_{i}$ esetén.

Valós valószínűségi változók diszkrét családjai

Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az $(X_{i})_{i\in I}$ valószínűségi változók függetlenek, ha

$P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}\leq x_{i})$

minden $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ esetén. Ha az $F_{X_{i}}(x)=P(X_{i}\leq x)$ függvények az $X_{i}$ valószínűségi változók eloszlásfüggvényei, akkor $F_{I}(x_{1},\dots ,x_{n}):=P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n})$ a közös eloszlásfüggvény, akkor az $X_{i}$ valószínűségi változók függetlenek, ha

$F_{I}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}F_{X_{i}}(x_{i})$

teljesül. Ha az $X_{i}$ valószínűségi változóknak van közös $f_{I}$ sűrűségfüggvénye, akkor éppen akkor függetlenek, ha

$f_{I}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}f_{X_{i}}(x_{i})$.

Ahol $f_{X_{i}}$ az $X_{i}$ szerinti peremsűrűség.

Létezés

Véletlen valószínűségi változók véges családjai számára adódik a kérdés, hogy van-e egy elég nagy valószínűségi tér, amiben a teljes család független erre a térre. Nem nyilvánvaló, hogy ez lehetséges; alternatívája lenne, hogy ha elég sokan vannak, akkor σ-algebráik mindig összefüggnek.

A kérdés a szorzatmértékek segítségével igenlően megválaszolható. A

$\left(\prod _{i=1}^{\infty }\Omega _{i},\bigotimes _{i=1}^{\infty }{\mathcal {A}}_{i},\bigotimes _{i=1}^{\infty }P_{i}\right)$

szorzatmodellt tekintve az i-edik komponens $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(\pi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$, azaz éppen az i indexű vetület. Így a szorzatmodell és a szorzatmérték definíciója miatt a család független, és a $\pi _{i}$ vetületek eloszlása megegyezik $P_{i}$ eloszlásával a $(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})$ eseménytéren. A szorzatmodell elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza független valószínűségi változók egy családját. A végtelen sok független valószínűségi változó létezését végtelen szorzatmérték létezésére vezettük vissza, ami nem magától értetődő. Ez belátható tetszőleges indexhalmazra például az Andersen-Jessen-tétellel, megszámlálható esetre alkalmazhsató az Ionescu-Tulcea-tétel, Borel-terekre Kolmogorov kiterjesztési tétele.

Korrelálatlanság és függetlenség

Ha $X,Y$ valószínűségi változók, akkor $X,Y$ korrelálatlan, ha kovarinaciájuk nulla.

$X,Y$ függetlenségéből következik korrelálatlanságuk. Ugyanis függetlenség esetén a várható értékekre teljesül, hogy $\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$; így

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)=0$.

Az első egyenlőség a kovariancia eltolástételéből, a második a függetlenségből és a várható értékekre vonatkozó fenti egyenlőségből következik.

Megfordítva azonban a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Legyen az $X$ valószínűségi változó egyenletes eloszlású az $[-1,1]$ intervallumon, és $Y=X^{2}$. Ekkor

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X^{3})-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (X^{2})=0-0\cdot \operatorname {E} (X^{2})=0$,

tehát a valószínűségi változók korrelálatlanok. De nem függetlenek, hiszen például

$P(\{X\in [0,{\tfrac {1}{2}}],\,Y\in [0,{\tfrac {1}{9}}]\})=P([0,{\tfrac {1}{2}}]\cap [-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}])={\frac {1}{6}}$

és

$P(\{X\in [0,{\tfrac {1}{2}}]\})=P([0,{\tfrac {1}{2}}])={\frac {1}{4}}{\text{ s }}P(\{Y\in [0,{\tfrac {1}{9}}]\})=P([-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}])={\frac {1}{3}}$.

A függés adódik abból, hogy ${\tfrac {1}{4}}\cdot {\tfrac {1}{3}}\neq {\tfrac {1}{6}}$.

Analízis függetlenségre

A függetlenségi analízis a korrelációt vizsgálja, ha ez nem nulla, akkor a függetlenségről szóló hipotézis elvehető. Másrészt azonban ez még nem jelent biztos függetlenséget, mert ez csak a lineáris kapcsolatot mutatja ki. Viszont például, ha a közös eloszlás normális, akkor a függetlenség igazolva van. Végezhetők további tesztek is.

Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége

A feltételes várható értékre hagyatkozva definiálható valószínűségi változó és halmazrendszer függetlensége is. Legyen $X$ valószínűségi változó, és ${\mathcal {E}}$ halmazrendszer. Függetlenek, ha ${\mathcal {E}}$ és az $X$ által generált σ-algebra független.

Általánosítások

Hasonlóan definiálható a feltételes várható érték felhasználásával halmazrendszerek és valószínűségi változók feltételes függetlensége.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
• Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
• Hans-Otto Georgii. Stochastik; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
• Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
• A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).