Független események

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Események függetlensége szócikkből átirányítva)
Jump to navigation Jump to search

A valószínűségszámításban két esemény függetlensége azt írja le, hogy az egyik esemény bekövetkezése vagy nem bekövetkezése nincs hatással a másikra, és a másiknak sem az egyikre. Alapvető fogalom.

Két esemény függetlensége[szerkesztés]

Definíció[szerkesztés]

Legyen valószínűségi tér és tetszőleges események, azaz mérhető részhalmazok az eseményhalmazban.

Két esemény, és független, ha

Tehát akkor függetlenek, ha annak a valószínűsége, hogy mindkét esemény bekövetkezik, egyenlő a két esemény valószínűségének szorzatával.

Példa[szerkesztés]

Példaként tekintsünk két húzást egy urnából, amiben két piros és két fekete golyó van. Legyen a két esemény:

  • A: Az első golyó fekete
  • B: A második golyó piros

Ekkor und .

Visszatevéses esetben:

.

Tehát a két esemény független.

Visszatevés nélkül , ami azt jelenti, hogy a két esemény nem független. Ez azt is mutatja, hogy a függetlenség nemcsak az eseményektől, hanem a használt valószínűségi mértéktől is függ.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Az események függetlensége szimmetrikus tulajdonság. Beszélhetünk A és B események függetlenségéről.
  • Egy esemény csak akkor független saját magától, ha valószínűsége 0 vagy 1. Ez azt jelenti, hogy a teljes és az üres halmaz független saját magától.
  • A 0 vagy 1 valószínűségű események nemcsak saját maguktól, hanem minden más eseménytől is függenek, mivel ekkor illetve . Megfordítva, ha egy A esemény minden eseménytől független, akkor vagy .
  • A függetlenség nem tévesztendő össze a diszjunktsággal. Diszjunkt események csak akkor függetlenek, ha egyikük valószínűsége 0 vagy 1.
  • Feltételes valószínűséget használva a függetlenség másként is megfogalmazható: Ha és események, és valószínűségük függetlenek, ha

másként

Az utolsó két definíció szavakkal így jellemezhető: Az esemény bekövetkezése nem függ attól, hogy vagy következik-e be. Itt szimmetria miatt és szerepe felcserélhető.

Története[szerkesztés]

Abraham de Moivre és Thomas Bayes visszatevés nélküli szerencsejátékokat vizsgált, az események függetlensége ezzel kapcsolatban merült fel, habár Jakob I. Bernoulli kimondása nélkül épített rá.[1] De Moivre 1718-ban azt a definíciót adta a The Doctrine of Chance című könyvében, amit ma is ismerünk. Későbbi kiadása már a két esemény egymásra hatásának hiányát mondja ki, ez a feltételes valószínűséggel való definíció előfutára.[2] Formálisan először Georg Bohlmann írta le 1900-ban.

Több esemény függetlensége[szerkesztés]

Definíció[szerkesztés]

Legyen valószínűségi tér, nemüres indexhalmaz, és események egy családja. Ez legutóbbi független, ha minden véges részhallmazásra teljesül, hogy

Példa[szerkesztés]

A fenti definíció szerint, ha , , esemény, akkor mivel hárman vannak, mindháromnak páronként függetlennek kell lennie, és még az összefüggésnek is teljesülnie kell. Bernstein példája (1927) három esemény, , és páronkénti függetlenségét mutatja, de együtt (tehát , és ) nem függetlenek. Hasonló példát már Georg Bohlmann is adott 1908-ban.

Legyen egy skatulyában 4 cédula a következő számokkal: 112, 121, 211, 222. Ezek közül egyet (1/4 valószínűséggel) véletlenszerűen kiválasztunk. A következő három eseményt tekintjük:

, valószínűsége
, valószínűsége
, valószínűsége

Könnyen látható, hogy az események páronként függetlenek, mivel

Azonban a három esemény nem független, mivel

Megfordítva sem következik esetén, hogy a három esemény páronként független. Tekintsük az

alaphalmazt az

eseményekkel az egyenletes eloszlás szerint! Ekkor

,

viszont

.

Kapcsolat az oksággal[szerkesztés]

Fontos megjegyezni, hogy a függetlenség és az oki függetlenség két különböző dolog. A függetlenség valószínűségi mértékek és események absztrakt tulajdonsága, ami szimmetrikus, ez nem teljesül az okságra. A következőkben áttekintünk néhány példát a két kapcsolatról.

Függetlenség és oki függőség[szerkesztés]

Dobjunk két kockával, legyen az esemény, hogy az első kocka páros számot mutat, a esemény, hogy a dobott számok összege páros! Ekkor és , a két esemény független, de okilag függ -tól, mivel az első kockával kidobott szám hozzájárul az összeghez.

Függetlenség és oki függetlenség[szerkesztés]

Dobjunk két kockával, legyen az esemény, hogy az első kockával 6-ot dobunk, a esemény, hogy a második kockával 6-ot dobunk! Ekkor és , a két esemény független, és belátható, hogy okilag is függetlenek.

Összefüggés és oki függés[szerkesztés]

Dobjunk egy érmével kétszer, legyen az esemény, hogy mindkétszer fejet dobunk, a esemény, hogy az első dobás írás! Ekkor és , viszont . Az események diszjunktak, összefüggők és okilag is összefüggők.

Megjegyzés[szerkesztés]

Korrekt metodológia esetén nem elég feltételezni a függetlenséget, azt meg kell vizsgálni. Statisztikai vizsgálatoknál a nem eleve adott. Hipotézisvizsgálatot lehet χ2-próbával végezni.

Általánosításai[szerkesztés]

Az események függetlensége általánosítható halmazrendszerek függetlenségére és az alapján valószínűségi változókra is kiterjeszthető. Mindezek központi jelentőséggel bírnak a valószínűségszámításban, és számos tétel előfeltételében szerepelnek.

Feltételes várható érték használatával mindezek feltételes függetlensége is definiálható.

Források[szerkesztés]

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5 
  • Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  • Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2 
  • A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. de Tari and Diblasi: Analysis of didactic situations suggested to distinguish disjunctive events and independent events. In: ICOTS-7, 2006.
  2. Zitiert nach: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. In: The CHANCE Project. Version vom 4. Juli 2006. Website

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Stochastisch unabhängige Ereignisse című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.